・cos on 倍角公式 : チェビシェフ
20 次の問いに答えよ。
0-E
(1) n を正の整数とする. どんな角に対しても
cosno=2cos0cos(n-1)0-cos(n-2)0
が成り立つことをを示せ. また, ある多項式 Pn(x) を用いて cos
は cosno = pn(cose) と表されることを示せ oni
(2) Pn(x)はnが偶数ならば偶関数, 奇数ならば奇関数になることを
示せ.
3 tan
(3)多項式 pn(x) の定数項を求めよ. また, Pn(x) の1次の項の係数
を求めよ.
[九州大〕
アプローチ
(1-x)
(イ) cos e には 2倍角, 3倍角の公式があります:
cos 20 = 2 cos2 0–1
cos 30 = 4cos30-3cos0
この
これらの右辺は cose の多項式になっているので,一般に 「cosno は cost
の多項式になる」と予想されます。 これを示すのが本間 (1) です. n=4のと
きは
cos 40 = cos 2(20) = 2 cos² 20 -1
立
=2(2cos20-1)2-1
かっていないといけませんが,
cos(k + 1)0 = coskocososin k0 sin O
となり, sin0 がでてきてしまい、うまくありません. そこで誘導がついて
n=k,
いて, cos n は cos(n-1)0 と と cos(n-2) と cose でかけるので,n
n=k+1のときを仮定するとn=k+2が示せることがみえてきます。す
なわち
となり、Pa(x) から Pa(x)の存在がわかります。 これらから Pa(x)の存在を
示すのに帰納法が使えないかと考えみます。そのためには「n=kのときと
n=k+1のときの関係」すなわち「cosk と cos(k + 1)6 の関係式」がわ
+
+
S
となり合う関係
が分かってないと
いけない
