10S0<2x のとき,0の方程式 2cos26 +4cos0+5-a=0…{*;がある。
(1). a=3のとき, 0の方程式(*)を満たす0を求めよ。
/2 0の方程式*が異なる2つの実数解をもつときの定数aの値の範囲を求めよ。
5座
【6点)
り,
は
【9点)
解答
(1) a=3 を(*に代入すると
2(2cos?0-1)+4cos0 +5-330
4cos°0 +4cos0 =0
cose(cos0 +1)3D0
(1
cos0 =0, -1
3
0s0<2x より0=0, 号,号
2'2
(2) 方程式を変形すると
2(2cos?0 -1)+ 4cos0 +5-a=0
すなわち
4cos'0 +4cos0 +3=a
cose =t とおくと
4t2+4t+3=a
また
-1Sts1
ソト
ソ=4f°+4f+3 (-1<is1)
のとおく。
11
ァー
12
ソ=4?+ 4#+3 から
y=4(t+
+2
2
y=a
右の図から,関数①のグラフと直線 y=aの
共有点の個数は
a<2, 11<aのとき 0個
a=2, 3<a<11 のとき-1<t<1の範囲に1個
3
|2
1 |0 1
2
2くa<3のとき
-1<t<1の範囲に2個
-1<tく1の範囲に1個と, t=-1のときの1個
t=1のときの1個
a=3のとき
a=11 のとき
cose =t (0<0<2x)の解の個数は,t=±1のとき1個,
-1<<1のとき 2個であるから,
よって,方程式(*)が異なる2つの解をもつときの定数 aの値の範囲
はa=2, 3<a<11 である。
ャ
