96 接線の本数
曲線 C:y=-x上の点をT(1,ピー1)とする。
〇 (1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ.
(2) 点A(a, b) を通る接線が2本あるとき, a, bのみたす関係式
を求めよ。ただし,a>0, b≠α-a とする.
(3)(2)のとき、2本の接線が直交するようなα, bの値を求めよ。
精講
のパターン
3次関数のグラフに引ける接線の本数は,接点の個数と一致し
ます、だから,(1)の接線に A(a, b) を代入してできるtの3次方
程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの
考え方は 95 注で学習済みです.
3) 未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します。
で
1つは(2)で求めてあるので, あと1つですが,それが 「接線が直交する」
を式にしたものです。 接線の傾きは接点における微分係数(84) ですから、
2つの接点における微分係数の積 = -1 と考えて式を作ります.
解答
(1) f(x)=x-x とおくと, f'(x)=3x²-1
よって, Tにおける接線は,
y-(t-t)=(3-1)(x-t)
y=(3t2-1)x-2t3
(2) (1) の接線はA(a, b) を通るので
6=(3t2-1)a-213
2t-3at2+a+b=0 .....(*)
(*) が異なる2つの実数解をもつので,
g(t)=2t3-3at2+a + b とおくとき,
y=g(t) のグラフが,極大値, 極小値をもち,
(極大値)×(極小値) =0であればよい,
g(t)=6t2-6at=6t(t-a)
g'(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから
186
(t,t³-t)
A(a,b))
95注
R!!
