)をr=-1で極大,x=2 で極小となる3次関数で「rx)dx= -
「ヒント!リ(1)3次関数f(x) の極大値と極大値の条件と, その導関数f(x)の定
「x)の定積分f(x)dxで表されることが分かるんだね。
限分の条件からf(x) を決定できる。 (2) 極大値 f(-1) と極小値f(2)の差は,
微分と積分の融合問題
モーラオ
難易度
講義
CHECK3
対階記問題 77
CHECK1
CHECK2
CHECK3
で「fx)dx
ニー5
を満たすものとする。
0(x)を求めよ。
a(x)の極大値と極小値の差を求めよ。
(熊本大)
(3) は、
分する
-1
解答&解説
(1)3次関数f(x) がx=-1で極大,x=2で極小
となることより,右図からこの導関数f(x) は,
『(x) = alx+1)(x-2)
(答)
x=-1と2でx軸と交わり, 下に凸の放物線
であることが分かるので,
12
講奏
い!
f(x) = a(x+1)(x-2)
=a(x?-x-2)…0 (a:正の定数)
と表される。ここで,定積分の条件式:
極大
『=S(x)
号関数の
ミ式通りだ!
増加
減少
増加
極小
…(答)
f(x)dx = -5
…のに①を代入して,
講言
-1
2
a(x?-x-2) (①より)
3
より,
(-1}
a=-5, a=5×
3
2
10
J, (x?-x-2)dx=-5 よって,
a
10
…(谷)
8
6=
3
1
8
-2-4=
3
3
三
2
3
aミ
こなる。これを①に代入すると, 導関数f(x) は,
(答)
は定数と
「) =(-x-2) …0' となる。
(xーx-2)……①'となる。
100
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微分法と積分法一
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