第7回 ◇解説
第1問 (1) 点Aから辺BCに垂線AHを下ろすと, △ABH は
AHB=90°の直角三角形であり
よって
AB=5,BR=1212BC=4
BH
ゆえに
74
cos 8=7
sin0=√1−cos³0 =√¹-(^^)² = 3
また
△ABCの外接円の半径をRとすると, 正弦定理により
AC
2R=
sin A
AC
R= 2 sin 8
円周角の定理により
5
∠ABC=∠APC,
∠ACB=∠APB
201
AH=3であり, BD=5 より DH=1 であるから, AHD において三平方の
定理により
AD'=AH'+DH²=32 +12=10
AD>0 であるから AD=√+10
円周角の定理により
∠APB=∠ACB
△ABCは二等辺三角形であるから
∠ABC=∠ACB
よって, APB と ABD において
∠APB=∠ABD, ∠ PAB=∠BAD
ゆえに, APBS △ABD であるから
AP: BP = AB DB=5:5=1:1
したがって AP=BP (①)
(2) ABCは二等辺三角形であるから
∠ABC=∠ACB
ウエ 25
*6
よって,∠APC=∠APB であるから, APは
∠BPCの二等分線である。 ("@))
∠APC=∠APB=0 であるから, ABP において
余弦定理により
AB' = AP2+BP22AP・BP cos
また, ACP において余弦定理により
AC" = AP2+ CP2-2AP・CP cos o
******
******
B
18
18
(①)
8
8
AD 87
6
P
①-② から AB2-AC'=BP2-CP22AP・BP cos 0 +2AP・CP cos o
AB' = AC2 であるから BP2-CP'-2AP・BP cos 0 +2AP・CP cos0=0
すなわち (BP+CP) (BP-CP)-2AP (BP-CP) cos0=0
よって
(BP-CP)(BP+CP-2AP cos0)=0 (*0. '0)
▶Point
AB = AC
