00-0
25とし
指定する。
2k+1_
←
Nが13の倍数
⇔N=13m(m は整数)
と表される。
es
である
すなわち
よって、n=
から、
上から
TEA
A
すべての
2
=
2x2k+3)
(k+1)(k+1)+1}{2(k+1)+1}
よって, n=k+1のときにも ①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。
31 (1) すべての自然数nについて, 次の事柄を証明すればよい。
「42n+1 +3 +2は13の倍数である」
①
[1] n=1のとき 42n+1+3n+2=43+33=64 +27=91=13.7
よって, ①は成り立つ。
[2] n=kのとき,①が成り立つと仮定すると,を整数として
42k+1+3k+2=13m
と表される。 n=k+1のときを考えると
42(k+1) +1 +3(k+1)+2=16.42k+1+3.3k+2
=16.42k+1+3(13m-42k+1)
=13(42k+1+3m)
42k +1 +3m は整数であるから, 42(k+1) +1 +3(k+1)+2は13の倍数とな
り, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。
(2) 42n+1+3+2
=4.42n+32.3"=4・16"+9.3.
=4(13+3)"+9・3"
=4(13"+C,13"-1.3+ C213″-2.32 + + Cm_13.3"-1+3")
+9.3"
n
=4.13(13"-1+„C,13″-2.3+„ C213″-3.32 + +„C_13"-1)
+4.3" + 9.3"
n
"--1-3-1
=4.13(13"-1+C,13″-2.3 + C213″-3.32 +... + Cm_3"-1)+13.3"
よって, 42 +1 +3 +2 は13の倍数である。
42" =3" (mod 13)+ +-+-
参考 [合同式を利用 ]
163 (mod13) であるから
よって 42m+1=4.3" (mod13)
この両辺に3"+2=9.3" を加えると
41n+24.QnQ.2"=13.3"=0 (mod13)
sty=p
である」
=1
11=2
み+
とか
11=
=k
( )内は整数
08
仮定
数て
(式)
よ
