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基礎
基礎問
24 命題の真偽
命題 かつ y21 ならば,x+y≧2について
対側を述べ、その真偽を調べよ。
(2) 命題:キェならばェキ1 が正しいことを対隅を用いて証
明せよ。
(3)√2 無理数であることを背理法を用いて示せ
(1) (2) ある命題が正しいことを真(true), まちがっていることを
(false) といいます。また、次図のような関係にある命題とを
それぞれ、元の命題の逆・裏・対偶といいます(→は「ならば」
を意味します)。
逆
→?
a p
裏
対偶
裏
逆
→
(はかの否定を表す)
このとき、対側の関係にある2つの命題の真偽は一致します。
または<1 ならば, x+y<2
▼p かつ
x=2,y=0 のとき, 不成立だから偽
または
対偶:x+y<2ならば、x<1 または y<1
もとの命題が真だから, 対側も真
(2) 与えられた命題の対隅は「x=1ならば=x」 で、 これは真
よって, 与えられた命題「キェならばェキ1」も真。
注
43
対側を用いて証明する場合は、たいてい「キ」, 「または」, 「ある
••••••に対して」 という表現が含まれています。
(3)√2 有理数と仮定すると、
Pipit 4) (S)
2つの自然数nを用いて,√2=”と表せる
(ただし,m, nは互いに素)
両辺を2乗すると2m²
まず結論の否定
最大のポイント
左辺は偶数だから,"も偶数、すなわちんも偶数
このときは4の倍数だから2m²も4の倍数
よって, m² は偶数となり, mも偶数.
ゆえに, mnは共通の約数2をもつことになり、
mnが互いに素であることに矛盾する.
よって,√2 は有理数ではない。すなわち、2は無理数.
ポイント
(2)条件も結論も否定(キ) の形をしているので, 対偶を利用します。
(3) 「背理法」という証明の手段は、次の手順ですすめます。
Ⅰ. 結論を否定して議論を開始し
Ⅱ. その結果矛盾が生じる
皿だから、結論を否定したものは誤りで, 要求された事実は正しい
解答
(1) 逆xy2 ならば, r≧1 かつ y≧1 偽であることを示す
x=2, y = 0 のとき,不成立だから 偽
には不適当な例(=
反例)を1つあげれ
ばよい
演習問題 24
第2章
・背理法では、結論を否定して解答をかき始め,
その結果, 矛盾することを示す
対偶を使った証明では、結論を否定して解答をかき
始め、条件の否定を導く
(1) 命題: 0<x<1 ならば x '<1 について
逆,, 対隅を述べ、 その真偽を調べよ.
(2) 命題:xy≠2 ならばェキ1 または y=2が正しいことを対偶
を用いて証明せよ。
(3)√2が無理数であることを用いて, 2+1 も無理数であるこ
とを背理法で証明せよ.
