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接線の方程式 (2)
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(1) f(x)はxについての多項式とする。
曲線 C:y=f(x) 上の点P(a, f(a)) を通る直線y=mx+nがPにお
けるCの接線であるための必要十分条件は
f(x)-mx-n=0 が x=a となる重解をもつ
ことである.これを証明せよ.
( 福岡教育大 )
(2) 直線y=m(x-1) と曲線 y=(x-1)(x+a)(x-α) が接するときの
の値を求めよ.ただし, a は 0 <a < 1 をみたす定数とする.
(島根大)
(1)y=mx+n が P(a, f(a)) にお解法のプロセス
ける接線であるということは,
mx+n=f'(a)(x-a)+f(a)
が任意のxに対して成り立つということです.
一方,g(x)=f(x)-mx-n とおくと
g(x)は多項式であり,
方程式 g(x)=0が重解αをもつ
ための必要十分条件は
精講
g(a)=g'(a)=0
(標問94 )
でした.g(a), g'(a) の中に, f(a),f'(a) が現れ
ますから,m,nの条件とつながります.
(2) g(x)=(x−1)(x+a)(x− a)²−m(x−1) ≥
して(1)を利用します.
解答
(1) P(a, f(a)) における接線の方程式は
y=f'(a)(x-a)+f(a)
であるから
「y=mx+nがPにおけるCの接線である」
「m=f'(a) かつ n= f(a) -af'(a)」
一方,g(x)=f(x) -mx-n とおくと
「f(x)-mx-n=0が
⇒ 「g(a)=0 かつ g'(a)=0」
であるから, (A)(B)であることを示す.
219
.. y=f'(a)x+f(a)-af'(a)
(A)=(
(1) 点(a, f(a)) における接線
がy=mx+n である条件(A)
を式で表す
f(x)-mx-n=0
がx=αで重解をもつ条件
(B) を式で表す
↓
(A)(B) かつ (B)⇒ (A) を示す
(2) (1) の利用を考える
↓
f(x)-m(x-1)=0
が重解をもつ
x=α となる重解をもつ」
...... (A)
・(B)
第6章
⇒ (B) であること ((B)は(A)の必要条件):
g(x)=f(x)-xf' (a)-{f (a) - af'(a)} とおくと JOX)-を保
JU)-MES/(a)
