Question

あ

この問題の⑵で、h 1＝0となるのはなぜですか？
教えてください
お願いします！！

接線の方程式 (2)
196
(1) f(x)はxについての多項式とする。
曲線 C:y=f(x) 上の点P(a, f(a)) を通る直線y=mx+nがPにお
けるCの接線であるための必要十分条件は
f(x)-mx-n=0 が x=a となる重解をもつ
ことである.これを証明せよ.
( 福岡教育大 )
(2) 直線y=m(x-1) と曲線 y=(x-1)(x+a)(x-α) が接するときの
の値を求めよ.ただし, a は 0 <a < 1 をみたす定数とする.
(島根大)
(1)y=mx+n が P(a, f(a)) にお解法のプロセス
ける接線であるということは,
mx+n=f'(a)(x-a)+f(a)
が任意のxに対して成り立つということです.
一方,g(x)=f(x)-mx-n とおくと
g(x)は多項式であり,
方程式 g(x)=0が重解αをもつ
ための必要十分条件は
精講
g(a)=g'(a)=0
(標問94 )
でした.g(a), g'(a) の中に, f(a),f'(a) が現れ
ますから,m,nの条件とつながります.
(2) g(x)=(x−1)(x+a)(x− a)²−m(x−1) ≥
して(1)を利用します.
解答
(1) P(a, f(a)) における接線の方程式は
y=f'(a)(x-a)+f(a)
であるから
「y=mx+nがPにおけるCの接線である」
「m=f'(a) かつ n= f(a) -af'(a)」
一方,g(x)=f(x) -mx-n とおくと
「f(x)-mx-n=0が
⇒ 「g(a)=0 かつ g'(a)=0」
であるから, (A)(B)であることを示す.
219
.. y=f'(a)x+f(a)-af'(a)
(A)=(
(1) 点(a, f(a)) における接線
がy=mx+n である条件(A)
を式で表す
f(x)-mx-n=0
がx=αで重解をもつ条件
(B) を式で表す
↓
(A)(B) かつ (B)⇒ (A) を示す
(2) (1) の利用を考える
↓
f(x)-m(x-1)=0
が重解をもつ
x=α となる重解をもつ」
...... (A)
・(B)
第6章
⇒ (B) であること ((B)は(A)の必要条件):
g(x)=f(x)-xf' (a)-{f (a) - af'(a)} とおくと JOX)-を保
JU)-MES/(a)

g'(x)=f'(x)f'(a)
ゆえに,g(a)=g'(a)=0
(B) ⇒ (A)であること ((B)は(A)の十分条件) :
[g(a)=0
{f(a)-ma-n=0
| g'(a)=0
lf'(a)-m=0
∴.m=f'(a), n=f(a)-af'(a)
以上より, (A) ← (B)が示された.
(2) g(x)=(x-1)(x+a)(x-a)^-m(x-1) とおくと
g(x)=(x−1){(x+a)(x− a)²—m}=(x−1)h(x)
である.ただし,h(x)=(x+a)(x-α)²-m とおいた.
「y=m(x-1) が y=(x-1)(x+a)(x-α)2の接線である」
⇔g(x)=0が重解をもつ
écDhh(1)=0 またはh(x)=0が重解をもつ」
(i) (1) = 0 となるのは, m=(1+α)(1-α)2 のときである。
とって (ii) h(x)=0が重解をもつのは,h(a)=h'(a)=0
をみたすαが存在するときである.
が0
h'(x)=(x−a)²+(x+a)•2(x−a)=(x−a)(3x+a)
ゆえに, α=a,
h(a)=h'(a)=0 をみたすmはm=0
32
(-1/3)=(-1/3)=0 をみたすmはm=
27
→研究
a
a
以上 (i),(ii)より m=(1+a)(1—a)², 32
の場合を考える.
演習問題
96 2つの曲節
一般に,2つの曲線 y=f(x) と y=g(x) が
x=aで接する (接線を共有する) 条件は
{f(a)=g(a)
\f'(a)=g'(a)
である.2曲線のうち一方が直線であってもこの条件
に変わりはない。
h(x)=f(x)-g(x) とおくと, 上式はh(a)=h'(a) = 0 と同値である.
27 a³, 0
a
したがってん(x) は(xc-α)2で割り切れるということになる.このことは
常識としておきたい.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

希

g(x)の式を見てくださいg(x)=(x-1)h(x)となっていますから、g(x)が重解をもつにはh(x)が因数に(x-1)を持つか、1以外の重解を持つかということになるので、h(x)が(x-1)を因数にもつならh(1)=0になりますよね。

あ

ありがとうございました！