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をq"+1 で割ると、奥型的な1。
(1
化式を解く
(2) a=4, an+1=4an
an+1= pan +S(n) (p
(2
2項間漸化式の解き方
g(n)の係数を
(3
数列になることを用いればよい。
an
LBを定め
an+1
A
ればよい。また, an+1= pan+ Aq" の両辺を p"+1 で割って、
A/q
か*
ここで、
かか+1
とし
an
p
b=
p"
A(n+1)になることは
(1) an+1+ A (n+1)+B=2(an t An+B)を満たす A, Bを求める。
Cn+1=2a,+ An+B-Aと条件式を比べて,A=1, B-A=0 ..
an+1+(n+1)+1=2(an+n+1)より, {an+n+1}は公比2の等比数列。
よって, antn+1=2"-1(aj+1+1)=3-2"-1
令左辺は
■解答
意。
B=1
. a,=3-2"ー1-n-1
【(2 )の別アプローチ)
f(n)が Aq" の形の場合は、
12+1
an
An+1
(2) ay+1=4a,-2"+1 を 4"+1 で割って,
47+1
4"
2
れ+1
1
となるので, n22のとき,
とおくと,==1, bn+1=bn-
4
間瀬化式に帰着されることに
目、漸化式を2+1 で割って
a1
an
(2
b=
1)2-1
1-
2
an+1
1-1/1 +1
an
=2-
カ-1
27+1
1
1-
2
2*
bn
=6+(み)-)=1- =1-(
an
Cn=
とおくと,
2"
Cat=2arl
これから解く。
=1-1- -+()(カ=1のときもこれでよい)
2
よって, a,=4"b,=4"{
:=2·4"-1+2*
【別解】(2) an+1+A·2"+1=4(an+A·2")を満たすAを求める。
Cy+1=4a,+4A·2"-A·2"+1=4az+A·2"+1 と条件式を比べて,A==-1.
Gy+1-2"+1=4(an-2")より, {an-2*}は公比4の等比数列。
よって, an-2"=4カ-1(4-2')=2-4ガー1
. a,=2-4"-1+2"
09 演習題 (解答は p.75)
次の式で定められる数列の一般項 anを求めよ。
(1)a=2, an+1=3am+2n?-2n-1 (n21)
(岐阜大)
2) a=1, an+1-2an=n-2"+1 (n之1)
(日本獣医畜産大)
=k(an+f(n))となる
f(n)を探す。
(2)階差型に持ちE
1
3) a=1, an+1=
n-1
(n21)
24t
(岐阜大·教一後)
~ ン
