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基本例題 214 曲線と接線で囲まれた部分の面積
曲線 y=-x2+5x上に点A(-1, -4) をとる
(1) 点Aにおける接線の方程式を求めよ。
(2) 曲線 y=-x+5xと接線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
CHART JOLUTION
解答
(1) y'=-3x2+5 であるから, 曲線 y=-x+5x 上の点A
における接線l の方程式は
y-(-4)={-3(-1)2+5}{x-(-1)} すなわち y=2x-2
(2) 曲線と接線lの共有点のx座標は,
-x+5x=2x-2 すなわち x 3-3x-2=0 の解である。
よって
ゆえに
(x+1)(x-2)=0
x=-1, 2
YA
l/
ゆえに, 図から求める面積Sは
s=S_{(-x°+5x)-(2x-2)}dx
-10
A
T
20
I
1
I
-4
=S_^(-x+3x+2)dx
3
--* - += x² +
=x²+2x1²₁
2
=1/(16-1)+1/23(4)
==
(2) まず, 3次曲線と接線の共有点のx座標を求める。
3次曲線 y=f(x) (x3の係数がα) と直線y=g(x) が x = u
f(x)-g(x)=a(x-a)(x-β) が成り立つ。
(ここで,βは y=f(x) と y=g(x) の接点以外の共有点のx座標)
-1
4-1)+2(2+1)=2
(16-1)+(4-1)+2(2+1)=-
INFORMATION 定積分の計算の工夫
-1
------
-1
るとスムーズである。
s=S_^(-x+3x+2)dx=-(x+1)^(x-2)dx
18
x
基本例題
放物線 y
(基本211)
で接するとき
CHART
面積
曲線と接線ℓ は
で接する 重解をもつ
から, (x+1)^
もつ。
よって、
x³-3x-2
²) = (x+1)²(x+a)
とおけ,定数項を
てa=-2
めでに足三
答
放物線
S=(-x3+3x+2)dxの計算はp.303 基本例題 201 と同様に,次のように計算
整理す
ゆえ
よっ
また
求の
求
