どうしてD2が出てくるのでしょうか？2回も判別式を使う意味がわからないです。どなたか教えていただけないでしょうか？

83 重要 例題 50 2次式の因数分解 (2) のような解をもつよう p.76 基本事項 5.基本4 Enf. 2次関数 (x)=xalle つグラフを利用すると ) D≧ 0, (軸の位置) ≧ 2, f(2)≥0 f(2) 2 a f(2)<0 x=1~1 2 第6_5 | 補足 参照) [⑤] 00000 4x2+7xy-2y2-5x+8y+k がx,yの1次式の積に因数分解できるように, 定数kの値を定めよ。 また, そのときの因数分解の結果を求めよ。 [類 創価大] A CHART & THINKING 2次式の因数分解 =0 とおいた2次方程式の解を利用 基本 2046 xyの1次式の積に因数分解できる」とは, (与式) = (ax+by+c) (dx+ey+f) の形に表 されるということである。 また, 与式をxの2次式とみたとき (yを定数とみる), (与式)=0とおいた 2次方程式 4x2+(7y-5)x-(2y²-8y-k)=0の判別式をDとする -(7y-5)-√DI と、与式は41x- −(7y−5) +√D₁}{x — 8 8 の形に因数分解できる。 この因 ①....... 数x、yの1次式となるのは, D1 が (yの1次式) すなわち」についての完全平方式のと きである。それは,1=0 とおいて,どのような条件が成り立つときだろうか? 解答 時 ) (与式)=0とおいた方程式をxの2次方程式とみて 4x2+(7y-5)x-(2y2-8y-k)=0 ...... ① である。 の判別式をDとすると D=(7y-5)2+44(2y2-8y-k)=81y2-198y+25-16k 与式がxとyの1次式の積に分解されるための条件は,①の 解がyの1次式となること, すなわちD がyの完全平方式 となることである。 D1 = 0 とおいたyの2次方程式 81y2-198y+25-16k=0 の判別式を D2 とすると 4 D2=(-99)²-81(25-16k)=81{11²—(25—16k)} =81(96+16k) Q D2=0 となればよいから 96+16k=0 よって k=-6 このとき, D=81y2-198y+121=(9y-11)2 であるから, ①の解は x= __(7y-5)±√(9y-11)-(7y-5)±(9y-11) 8 8 2章 7 解と係数の関係 000 とき, の値の範囲 る。 | 数学で 必要十分 inf 恒等式の考えにより 解く方法もある。 (解答編 および p. 59 EXERCISES 15 参照 ) 前ペー (1) と同 ← D1 が完全平方式⇔ 2次方程式 D=0 が重 解をもつ 計算を工夫すると 992=(9.11)²=81・112 √ (9y-11)=l9y-11| <A> A> 参考 指針 ての 不等 う。 53+4212 とき, D0 は成り っている。 すなわち x=- 4 _y-3-2y+2 ゆえに (与式)=4(x-2-3)(x-(-2y+2)} 754 解説 参照) =(4x-y+3)(x+2y-2) うな実数の い解をもつ であるが,±がついて いるから, 9y-11の絶 対値ははずしてよい。 括弧の前の4を忘れな いように。 PRACTICE 50º を定数とする2次式 x2+3xy+2y2-3x-5y+k がxyの1次式の積に因数分解 できるときの値を求めよ。 また, そのときの因数分解の結果を求めよ。 [東京薬大] D + A

赤線のところの座標はどうやって求めるのか分かりません！あと並行みたいな感じで書かれている直線もどうやって導き出せばいいのか分からないです！ 他の資料にX+y=kと書いてあったのですがそうすると 上手くいかなくて答えに載っているX−y=kだと上手くいったのですが、いつもどっち... 続きを読む

基本例題 122 領域と1次式の最大 最小 (1) x. ①①①①① yが3つの不等式3x-5y≧-16,3x-y≦4, x+y≧0 を満たすとき, 2x+5yの最大値および最小値を求めよ。 p.194 基本事項 基本 124 指針 連立不等式を考えるときは,図示が有効である。まず,条件の不等式の表す領域 D を 図示し, f(x, y) =k とおいて,図形的に考える。 ...... 1 2x+5y=k ①とおく。これは、傾き1/23y切片 1/3の直線。 5 ② 直線 ①が領域 D と共有点をもつようなんの値の範囲を調べる。 → 直線 ① を平行移動させたときのy切片の最大値・最小値を求める。 3 3章 1 不等式の表で CHART 領域と最大・最小 図示して,=kの直線 (曲線)の動きを追う 解答 与えられた連立不等式の表す 領域をDとすると, 領域 D は3点 境界線は ① (3,5) (1, 1), (-2, 2), (3, 5) を頂点とする三角形の周およ k=31 び内部である。 (-2,2) -3<< 31 3x-5y=-16から 16 3 y=1/2x+ 5 3x-y=4から y=3x-4 x+y=0からy=-x 2x+5y=k ...... ① とおく (1,-1) 境界線の交点の座標を求 めておくこと。 2 k=-3 これは傾き 切片 2 k 5' ①からy=-- k の直線を表す。 この直線が領域Dと共有点をもつようなんの値の最大 値と最小値を求めればよい。 図から,kの値は, 直線 ①が点 (3,5) を通るとき最大に直線①の傾きと,Dの なり,点 (1, -1) を通るとき最小になる。 よって, 2x+5y は るとき。 x=3, y=5のとき最大値 2・3+5・5=31, 境界線の傾きを比べる。 直線 ①がD の三角形の 頂点を通るときに注目。 x=1, y=-1のとき最小値 2・1+5・(-1)=-3 大阪 をとる。 検討 線形計画法 x, yがいくつかの1次不等式を満たすとき, x, yの1次式 ax + by の最大値または最小値 について考える問題を 線形計画法の問題という。 線形計画法の問題では、1次不等式の 条件を図示すると,多角形になるが, ax + by は, 多角形のどれかの頂点で最大値または最 小値をとることが多い。 練習 (1) x, y が4つの不等式x≧0,y≧0, x+2y≦6, 2x+y≦6 を満たすとき, x-yの 最大値および最小値を求めよ。 ② 122 (2)x,yが連立不等式x+y ≧ 1, 2x+y=6, x+2y≦4 を満たすとき, 2x+3y の最 大値および最小値を求めよ。

(1)について 異なる二点で交わることがなぜ |r-r'|<d<r+r'で表せるのでしょうか？

基本 例題 94 2つの円x2+y2=5 2つの円の交点を通る円・直線 ・1, (x-1)2+(y-2)2=4 (1)2つの円は,異なる2点で交わることを示せ。 (2)2つの円の交点を通る直線の方程式を求めよ。 0000 ②について (3)2つの円の交点と点 (03) を通る円の中心と半径を求めよ。 CHART & THINKING (1) 2つの円の半径と中心間の距離の関係を調べる。 ③ 基本 77, p. 139 基本事項 (2)(3)2つの円の交点の座標を求めることは面倒。 そこで, 次に示す p. 129 基本例題 の考え方を応用してみよう。 2曲線 f(x, y) = 0, g(x,y)=0 の交点を通る曲線 方程式 kf(x,y)+g(x,y)=0(kは定数) を考える →①,②を=0の形にして,k(x2+y-5)+(x-1)2+(y-2)2-4=0 ③ とすると,③は2つの円の交点を通る図形を表す。 (2)③が直線を表すときのkは? 解答 (3)③が点 (0, 3) を通るときのんは? (1)円 ①,② の半径は順に52である。 2つの円の中心 ( 1 ) 間の距離をdとすると d=√12+22=√5から |√5-2|<d<√5 +2 よって,2円 ①,②は異なる2点で交わる。 r-r<d<rtr

質問は写真にかいてあります

3a=0 ②が が虚数解をもっ 基本 41 重要例 43 虚数を係数とする 2次方程式 00000 xの方程式 (1+i)x2+(k+i)x+3+3ki = 0 が実数解をもつように, 実数k の値を定めよ。 また、 その実数解を求めよ。 CHART & SOLUTION 2次方程式の解の判別 判別式は係数が実数のときに限る D≧0 から求めようとするのは完全な誤り (下の INFORMATION 参照)。 実数解をα とすると (1 + i) o' + (k+i)a+3+3ki = 0 この左辺を a+bi (a, b は実数) の形に変形すれば、 複素数の相等により 0 a=0,b=0 ← α, kの連立方程式が得られる。 基本 38 2章 9 解答 方程式の実数解をα とすると 整理して (1+i)a2+(k+i)a+3+3ki=0 (Q2+ka+3)+(α2+α+3k)i=0 x=α を代入する。 ←a+bi=0 の形に整理。 α, kは実数であるから, a+ka+3, 2 + α+3k も実数。この断り書きは重要。 ①よって 複素数の相等。 a2+ka+3=0 ① どうし Q2+α+3k=0 ...... ② から (k-1)α-3(k-1)=0 ( のか ① 分かりません (k-1)(a-3)=0 k=1 または α=3 [1] k=1のとき ① ② はともに α2+α+3=0 となる。 これを満たす実数αは存在しないから、不適。 [2] α=3 のとき ① ② はともに 12+3k=0 となる。 ゆえに k=-4 [[1], [2] から, 求めるkの値は 実数解は k=-4 x=3 INFORMATION ← α を消去。 infk を消去すると 03-2α²-9=0 が得られ, 因数定理 (p.87 基本事項 21 ) を利用すれば解くことがで きる。 6=-47 ←D=12-4:1.3=-110 a²+9+3k38: ②:32+3+3k=0~ ①:32+3k+3=0 a=3~4とでたけど 2次方程式の解と判別式 管に-4はないのか →万かりみん 2次方程式 ax2+bx+c=0 の解を判別式 D=62-4ac の符号によって判別できる のは a, b, c が実数のときに限る。 例えば, a=i, b=1,c=0 のとき 62-4ac=1>0 であるが, 方程式 ix²+x=0 の解 はx=0, i であり,異なる2つの実数解をもたない (p.85 STEP UP 参照)。 PRACTICE 430 xの方程式 (1+i)x2+(k-i)x-(k-1+2=0 を定め

2番で、(例題です)、0にならないんですか？ Xは微分すると、1になりますし、1は、微分すると0になるので、、 ？

319 解答 基本の BRUNET 198 導関数の計算 (1) ･･･定義(x)'1 次の関数を微分せよ。 ただし, (1), (2) は導関数の定義に従って微分せよ。 y=x2+4.x (3)y=4x-x-3x+5 (2)y= Xx (4) y=-3x+2x3-5x2+7 (1),(2) 導関数の定義 f'(x)=lim h→0 f(x+h)-f(x) h /p.314 基本事項 3~5 を利用して計算。 (3), (4) 次の公式や性質を使って, 導関数を求める。 (n は正の整数, k, lは定数) (1)y=lim h→0 =lim h→0 (")=nx-1 特に (定数)' = 0 {kf(x)+1g(x)}'=kf'(x)+1g'(x) {(x+h)+4(x+h)}(x2+4x) h (x+h)2-x2+4(x+h) -4x 2hx+h+4h h =lim h-0 XUX h =lim (2x+h+4) h→0 f(x)=x2+4x とすると f(x+h) =(x+h)2+4(x+h) <項をうまく組み合わせて, 分子を計算する。 1 (2) = x+h XC =2x+4 TS+ 1 x-(x+h) -h (x+h)x = (x+h)x であるから -h 1 -1 =lim 1 h→0 h→0 (x+h)x x² 2 y'=lim(x+h)xh (3)y'=(4x-x2-3x+5)'=4(x3)-(x2)、-3(x)+(5)、 =4・3x²-2x-3・1=12x²-2x-3 (4) y'= (-3x+2x3-5x2+7)、 =-3(x)'+2(x3)'-5(x2)'+(7) =-3・4x3+2・3x2-5・2x=-12x+6x2-10x (+ 【導関数の定義式の分子 f(x+h)-f(x) を先に計算している。 <{kf(x)+1g(x)} =kf'(x)+1g'(x) ((xn)=nxn-1 (定数)' = 0 6 章 34 微分係数と導関数

2-1とか4-1とかの意味がわかりません

1から6までの番号をつけてある6枚のカードがある。 この中から2枚のカ ードを同時に引くとき, 引いたカードの番号の大きい方をXとする。 このと き,確率変数Xの期待値 E(X) を求めよ。個の同時.428 基本事項 2 10

(1)と(2)の問題の等号成立ががよく分かりません

51 本 例題 29 不等式の証明 (絶対値と不等式) 00000 この不等式を証明せよ。 la+0|=|a|+|0| (2)|a|-|0|sla-61 p.42 基本事項 4. 基本 28 ■ART & THINKING 問題 1 結果を使う [2] 方法をまねる 絶対値を含むので、このままでは差をとって考えにくい。 AA' を利用すると、絶 計値の処理が容易になる。 よって、 平方の差を作ればよい。 証明したい不等式の左辺は負の場合もあるから, 平方の差を作る方針は手間がかかり -うである (別解 参照)。 そこで, 不等式を変形すると |a|≦la-6|+|6| - (1) と似た形になることに着目。 ■の方針で考えられそうだが, どのように文字をおき換えると (1) を利用できるだろうか? (|a|+|6|2-|a+b2=(|a|2+2|a||6|+|6|2)-(a+b)2 って =a2+2|ab|+62-(a² +2ab+62) =2(labl-ab)≧0 (*) la+6≦(|a|+|6|)2 in A≧0 のとき -|A|≦A=|A| A<0 のとき -|A|=A<|A| +6|≧0, |a|+|6|≧0 であるから la+6|≦|a|+|6| -lal≦a≦lal, -|6|≦6|6| であるから 々を加えて -(|a|+|6|)≦a+b≦|a|+|6| |a+6|≦|a|+|6| ■+|6|≧0 であるから [_1)の不等式の文字α を a-b におき換えて | (a-b)+6|≦la-6|+|6| って lal≦la-b|+|6| ゆえに |a|-|6|≦la-6| [1] |a|-|6|<0 すなわち |a|<|6| のとき 左辺) < 0, (右辺) > 0 であるから不等式は成り立つ。 |a|-6|≧0 すなわち |a|≧|6| のとき la-b-(al-16)²=(a-b)²-(a²-2|ab|+b²) =2(-ab+lab)0 よって (a-ba-b12 1-161≧014-0≧0 であるから |a|-|6|≦|a-6| であるから,一般に -ASASA 更にこれから JAI-A≧0 [A+A≧0 c≧0 のとき -c≤x≤c\x\≤c x≤-c, c≤x 1xc ②の方針 |a|-|0|が の場合も考えられる で、 平方の差を作るに 場合分けが必要。 int 等号成立条件 (1)は(*) から, lab|= すなわち、 αb0 のと よって、 (2) は (α-b) ゆえに (a-b≧0 かつ または (a-b0 かつ すなわち a b ≧0 ま a≦b0 のとき。 CTICE 29 [hs]alt[6] を利用して、次の不等式を証明せよ。 (?) |-cl≦la-6/+16-cl

この式は何を表しているものですか？

だけが 174 重要例題 77 2次方程式の解と係数の大小 一つの実数解をもつことを示し,その解をα, β (α <β) として, a, βとa,b,cを a<b<c とする。 xについての方程式 2(x-b)(x-c)-(x-a) 2 = 0 は異なる2 大小の順に並べよ。 指針 解と数との大小関係を調べるから, 今までと同様にグラフを利用する。 例題 74 異なる2つの実数解をもつ→ 判別式D>0であるが, 与えられた方程式の形から, x=a,b,c を代入して調べることができるのではないかと思いつく。 この場合、基本と なるのは, p. 149 の基本事項2で f(p)f(g) <0ならとの間に解あり 0= #! 二考 解答 f(x)=2(x-b)(x-c)(x-a) とすると (a)=2(a-b)(a-c =[8] b C f (b)=- (b-α)2 a B x f(c)=-(c-a)20 次関数のいろいろな問題 a<b<cであるから f(a)>0, f(b)<0, f(c)<0......①I+S 関数 y=f(x)は2次関数で, ① により,グラフは上の図の ようになり,aとbの間と, cより大きい範囲でそれぞれ x軸と交わる。 よって, 方程式 f(x) =0 は異なる2つの実数解をもつ。 また、その交点のx座標がα, βであるから, グラフより a<a<b<c<B >(I+D) より大きい値dで f (d) > 0 となるものが 存在するから f(c)f(d)<0 軸との交点のx座標が 方程式の実数解。

角ATC=角TSP=角TBSがイコールになる理由を詳しく教えていただきたいです。 接弦定理がよくわかりません。 よろしくお願いします。

日本 例題 図のように、大きい円に小さい円が点Tで接してい まるで小さい円に接する橋線と大きい円との交 点をA,Bとするとき, ∠ATS と ∠BTSが等しい ことを証明せよ。 00000 [神戸女学院大 ] A S /B 399 CHART & THINKING 接線と弦には 接弦定理 p.394 基本事項 2 点Tにおける2つの円の接線と, 補助線 SP (Pは線分AT と小さい円との交点)を引き, 接 弦定理を利用する。 接弦定理を用いて, 結論にある ∠ATS や ∠BTS と等しい角にどんど ん印をつけていき,三角形の角の和の性質に関連付けて証明することを目指そう。 答 点における接線を引き、 図のよう に点Cを定める。 3章 10 円と直線、2つの円 また、線分 AT と小さい円との交点 をPとし,点Sと点Pを結ぶ。 接点Tに対して, 接線 TCは小さい 円, 大きい円の共通接線であるから S B 2円が接する→2円 の共通接線が引ける。 ∠ATC= ∠TSP=∠TBS ① ◆接弦定理 接点Sに対して,接線 AB は小さい円の接線であるから 接弦定理 ∠ASP = ∠ATS ② ATSB において <BTS + <TBS = ∠AST ∠AST = ∠ASP + ∠TSP ここで m _∠BTS + ∠ TBS = ∠ASP + ∠ TSP ③ ①③から ゆえに、②から m <BTS = ∠ASP <BTS = ∠ATS ■(三角形の外角)=(他の 2つの内角の和)

角ATC=角TSP=角TBSがイコールになる理由を詳しく教えていただきたいです。 接弦定理がよくわかりません。 よろしくお願いします。

日本 例題 図のように、大きい円に小さい円が点Tで接してい まるで小さい円に接する橋線と大きい円との交 点をA,Bとするとき, ∠ATS と ∠BTSが等しい ことを証明せよ。 00000 [神戸女学院大 ] A S /B 399 CHART & THINKING 接線と弦には 接弦定理 p.394 基本事項 2 点Tにおける2つの円の接線と, 補助線 SP (Pは線分AT と小さい円との交点)を引き, 接 弦定理を利用する。 接弦定理を用いて, 結論にある ∠ATS や ∠BTS と等しい角にどんど ん印をつけていき,三角形の角の和の性質に関連付けて証明することを目指そう。 答 点における接線を引き、 図のよう に点Cを定める。 3章 10 円と直線、2つの円 また、線分 AT と小さい円との交点 をPとし,点Sと点Pを結ぶ。 接点Tに対して, 接線 TCは小さい 円, 大きい円の共通接線であるから S B 2円が接する→2円 の共通接線が引ける。 ∠ATC= ∠TSP=∠TBS ① ◆接弦定理 接点Sに対して,接線 AB は小さい円の接線であるから 接弦定理 ∠ASP = ∠ATS ② ATSB において <BTS + <TBS = ∠AST ∠AST = ∠ASP + ∠TSP ここで m _∠BTS + ∠ TBS = ∠ASP + ∠ TSP ③ ①③から ゆえに、②から m <BTS = ∠ASP <BTS = ∠ATS ■(三角形の外角)=(他の 2つの内角の和)