-
![]()
いため
B3
解答
(1)
配点 (1) 4点 (2) 8点(3) 8点
式と証明・高次方程式 (20点)
の整式 P(x)=x(k+1)x+(2k+3)x(+3) がある。 ただし、は実数の定数と
する｡
(1) P(x) を因数分解せよ。
20 とする方程式 P(x)=0 が異なる3つの実数解をもつようなんの値の範囲を求
めよ。
したがって
(3) の値の範囲を(2)で求めた値の範囲とし、方程式 P(x)=0 の異なる3つの実数解をα,
By (a <B<y)とする。このとき, α+β をんを用いて表せ。 またこのたの値が変化
するとき, a +120-kの最小値と、そのときのたの値を求めよ。
B-a
P(1) =1°-(k+1) 12 + (2k+3) 1-(k+3)
=1-k-1+2k+3k-3
= 0
よって, P(x)はx-1 を因数にもつから
x-kx+(k+3)
x-1)x-(k+1)x+(2k+3)x-(k+3)
完答への
道のり
X-3
-kx2+ (2k+3)x
-kx²
+kx
(k+3)x-(k+3)
(k+3)x-(k+3)
P(x)=(x-1)(x-hx+k+3)
0
<P(x)=0 となるx を見つけるた
めに, xに具体的な値を代入する。
(2)
(1) より, 方程式 P(x)=0の解はx=1と2次方程式
x²-kx+k+3=0
因数定理
整式 P(x)がx-k を因数にもつ
⇔P(k)=0
組立除法を用いて計算すると,次
GAS
のようになる。
11 (k+1) 2k+3 -(k+3)
1--k k+3
k+3
1°-k・1+k+3=4≠ 0
したがって, x=1は ① の解ではない。
よって, ① が異なる2つの実数解をもてばよいから、 ①の判別式をDとす
ると
1
(x-1)(x²-kx+k+3) 因数分解してもよい。
A P(1) = 0 より P(x)がx-1を因数にもつことに気づくことができた。
B P(x) を因数分解することができた。
SURT PT
TERY
次数の低いについて整理して
?
の解である。
よって, 方程式 P(x) = 0 が異なる3つの実数解をもつ条件は､ ① が1でない
異なる2つの実数解をもつことである。
ここで、 ①の左辺にx=1 を代入すると
- k
n
< ① が x=1 を解にもたないこ
を確かめる。
