B
OF
444
基本 例題 271 断面積と立体の体積 (2) 201
底面の半径α、高さもの直円柱をその軸を含む平面で切って得られる半円柱があ
る。 底面の半円の直径を AB, 上面の半円の弧の中点をCとして, 3点A,B,C
を通る平面でこの半円柱を2つに分けるとき, その下側の立体の体積を求め
よ。
指針 基本例題 270 と同様 立体の体積 断面積をつかむ
[画い
解答
の方針で進める。
であるが, この断面積を考えるとき, 切り方によってその切
図のように座標軸をとったとき, 題意の立体は図の青い部分
り口の図形が変わってくる。
[1] x軸に垂直な平面で切る
[2] y軸に垂直な平面で切る
[3] z 軸に垂直な平面で切る
図のように座標軸をとり, 各点を定める。
x軸上の点D(x, 0) を通り, x軸に垂直
な平面による切り口は直角三角形 DEF
である。
このとき,△DEF SOHC であり
DE: OH=√a^²-x2 : a
ゆえに、切り口の面積をS(x) とすると
切り口は円の一部
(底面に平行な平面で切る )
ここでは,[1] の方針で進める ([2], [3] の方針は 検討 参照)。
-
=
S(x): △OHC=(√a^²-x²):a²
S(x)=
Tink
切り口は直角三角形
切り口は長方形
a²-x² ab
よって
a² 2
2a
対称性から, 求める立体の体積Vは
ab
V=2SS(x)dx=2S.22(²-x)dx
b
VER
討 他の切り口で考えた場合
-a
.3 Ja
2
= ²2² [a²x-3²1-²3a²b
=
B D
- (a²-x²)
ALS (3)2 NON
|x|
基本 270
E
・a
H
a A
a
重要 281, 282,285
B
-a>
ZA
0
-a
b]
2
C
A
∠DEF=∠OHC=
∠FDE=∠COH
X
<V=S² S(x) dx
=2fes(x)dx
T
線分比がa:b
⇒面積比は²:0²
△OHC= =1/200
