練習 さいころを振る操作を繰り返し、1の目が3回出たらこの操作を終了する。3以上の自然数に
5 57 対し, n回目にこの操作が終了する確率をn とするとき,pnの値が最大となるnの値を求めよ。
は (n-1) 回までに1の目が2回 他の目が (n-3) 回出て.
n回目に1の目が出る確率であるから
pn=n-1C2
よって
pn
6
n-3 1 (n-1)(n-2) 5"-3
6
pn+1_n(n-1)5"-2
=
pn+11 とすると
pn
5
.
=
2 6n+1
6 n-2
×
6(n-2)>0であるから 5n >6(n-2)
2
2
6"
6"
(n-1)(n-2) 5n-3
←
5"-3
(京都産
5"-3
62+ (n-3)+1
5"-2 6"
67+1 57-3
=
6"
5(-3)+16"
=
6"-6
5"-3 6
5n
>1
6(n-2)
ゆえに n <12
←n≧3であるから
よって, 3≦x≦11のとき
pn<pn+1
6(n-2)>0
pn
pn+1 1 とすると
5n<6(n-2)
5n
ゆえに n > 12
←
<1の両辺に
6(n-2)
よって, n≧13のとき
pn>pn+1
なお, n=12のとき,
Dn+1
正の数 6(n-2) を掛け
て分母を払う。
ゆえに
=1 となるから pn=Pn+1
Pn
ps<pa<......<P12, P12 P13, P13>14>....・・
よって, Pn の値が最大となるのはn=12,13のときである。