例題 30 背理法の利用
次の問いに答えよ。ただし,√2が無理数であることを用いてもよい｡
□(1) a,b,c,dが有理数のとき、a+b√2=c+d√2 ならば、a=cかつ
V b=d であることを証明せよ。
(2) (3+2√2)x+(5-√2)y=3+5√2
考え方 (1) a-c+(b-d)√2=0 と変形してから,背理法を用いて示す。
(2) 左辺を2について整理してから, (1) の結果を利用する。
(1) 与式を整理すると, a-c+(b-d)√2=0.......①
ここで, b-d=0, すなわち, b=d と仮定すると, ① より,
B15
「発展」
を満たす有理数x,yの値を求めよ。
解
√2=
a,b,c,d は有理数より
も有理数となり,√2が無理数であること
に矛盾する。 したがって, b=d で, ① より, a-c = 0, すなわち, a=c
よって, a, b, c, d が有理数のとき、a+b√2=c+d√2 ならば、a=c か
b=d である。
cia
b-d
(2) 与式を整理すると, -3x+5y+(2x-y)√2=3+5√2
xyは有理数であるから, -3x+5y, 2x-yも有理数であり, (1) より,
-3x+5y=3
よって,
x=4, y=3
|2x-y=5
263 次の問いに答えよ。ただし,√6 が無理数であることを用いてもよい。
□(1)a,bを有理数とするとき,a+b,6=0 ならば, 4=0 かつ b = 0 である
ことを証明せよ。
(2) (16)+(√6-1)g=3+6√6を満たす有理数か, g の値を求めよ。
C
例題 30
