例題 30 背理法の利用
次の問いに答えよ。ただし,√2が無理数であることを用いてもよい｡
□(1) a,b,c,dが有理数のとき、a+b√2=c+d√2 ならば、a=cかつ
V b=d であることを証明せよ。
(2) (3+2√2)x+(5-√2)y=3+5√2
考え方 (1) a-c+(b-d)√2=0 と変形してから,背理法を用いて示す。
(2) 左辺を2について整理してから, (1) の結果を利用する。
(1) 与式を整理すると, a-c+(b-d)√2=0.......①
ここで, b-d=0, すなわち, b=d と仮定すると, ① より,
B15
「発展」
を満たす有理数x,yの値を求めよ。
解
√2=
a,b,c,d は有理数より
も有理数となり,√2が無理数であること
に矛盾する。 したがって, b=d で, ① より, a-c = 0, すなわち, a=c
よって, a, b, c, d が有理数のとき、a+b√2=c+d√2 ならば、a=c か
b=d である。
cia
b-d
(2) 与式を整理すると, -3x+5y+(2x-y)√2=3+5√2
xyは有理数であるから, -3x+5y, 2x-yも有理数であり, (1) より,
-3x+5y=3
よって,
x=4, y=3
|2x-y=5
263 次の問いに答えよ。ただし,√6 が無理数であることを用いてもよい。
□(1)a,bを有理数とするとき,a+b,6=0 ならば, 4=0 かつ b = 0 である
ことを証明せよ。
(2) (16)+(√6-1)g=3+6√6を満たす有理数か, g の値を求めよ。
C
例題 30
263.1
数であるから,一号も有理数となり,√6 が無理数であること
に矛盾する。
したがって, b=0 であり,このとき, α+0×√6=0 より.
α = 0 となる。
zZX (P)
となり, a,bは有理
0と仮定すると、1=-1
よって,α, b が有理数で a+b√6=0 ならば, α = 0 かつb=0
である。
(2) (1+√6)+(2√6-1)q=3+6√6より,
p-g-3+(p+2g-6)√6=0
p q は有理数であるから, -9-3, μ+2g-6も有理数であ
り (1)より,
{1+
[p-q-3=0
p+2g-60
これを解いて
3
p=4,g=1
(2)関しては、
p－q－3+(p+2q－6)√6=0
p,qが有理数、すなわち、ルートではない。
仮に、p,qがルートもありだとすると、
p－q－3が√12になるように、(p+2q－6)が－√2になるようにすると、
p－q－3+(p+2q－6)√6は、0になりますよね。
ただ、今回はp,qが有理数、すなわち、ルートではない。
すなわち、p－q－3もp+2q－6もルートにはならないのに、
p－q－3+(p+2q－6)√6は、0になる。
ということは、とりあえず、√6の係数は0じゃないと困る。
※√6の係数が0じゃないと、√6が残りますよね。
これでは、0になりようがありません。
すなわち、p+2q－6=0
ということは、p－q－3+(p+2q－6)√6は、p－q－3+0になる。
これが、0になるということは、p－q－3=0
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