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530 第8章 数
(1) an+2-2am+1-15a,=0 ……① が an+2-ean+1=B(an+1- aan)……2と変形で
*ル-1
bn=dn+1-an とおくと,数列{bn}は数列 {an} の
(1より =0
列
Unt
3 漸化式と数学的帰納法
Check
531
例 題 300
隣接3項間の漸化式 (1)
2-3an+1+2an 0より、
an+2-an+i=2(an+1-an) ..の
次のように定義される数列 {an}の一般項 an を求めよ。
(1) a=1, az=2, an+2-2an+1-15am=0
(2) a=3, az=5, an+2-3am+1+2an=0
(x-1)(x-2)3D0
より、x=1, 2
階差数列であり,②より,
a=1, B=2 で考える。第8章
bn+1=2 b。
つまり,数列(bn} は、
初項 b=a2-a=5-3=2
公比 2
考え方(A) 特性方程式の解 a, BがαキB となる場合(p.529)である
の等比数列であるから,
bn=2-27-1
きたとする。
2より,
antaー(a+B)an+1taBa,=0
bn=2" とできるが,
[a=-3
{8-5
これより, a+8=2, aB=-15 だから,
| anta+3an+i=5(an+1+3am)
lamtz-5am+1=ー3(an+1-5am)
または
Q=5
したがって, n2のとき,
-1
B=-3
こb。を計算するので
an=a」+E。
=1
k=1
bn=2-2"-1 のままの方
が間違いが少なくなる。
{an} の階差数列{ba
n22 のとき
よって,2より,
1-1
=3+ 22-2*-1
これより,一般項 anを求めればよい。
(2)(A) aキ8 において, とくに α=1 となる特別な場合である。
つまり,
k=1
2(2"-1-1)
ag+2-3am+1+2an=0 は,
an+2-Cn+1=8(an+1-an)
数列(a+-)は(a)の階差数列である。
=3+
{a)の階差数列
2-1
=3+2(2"-1-1)
=2"+1
-1
an=a+ 2b。
{an+1-a)
となり、
(1)と同様に解くこともできるが,ここでは階差数列の
考え方を使って解いてみよう。
=1
n=1 のとき, a=2'+1=3 となり成り立つ。
m
n=1 のときを確認
よって,
an=2"+1
ュ-15am=0
Tan+3a
のより x-2x-15=0
w
解答
(aneit3an)
(x+3。
E
Rocus
