なぜcosθ≠1なんですか？ また、x0<x<1の議論はしなくて良いのですか？

標問 44 不等式の成立条件 (051) US( 不等式 1-ar≦cOS が任意の実数xに対して成り立つような定数αの 範囲を求めよ. (早稲田大) 精講 図形的には,y=cosx の下方に納 まる限界の放物線を求めることが問 (x)" 題です.そこで,標問 39の方針にしたがって文 宇定数を分離し: 450-(0) 2 2 0 1-cos x az. x² 2 右辺の関数の最大値を求めるという考え方もでき ますが,面倒です. SPO4 ここは,単に f(x)=cosx+ax²-1≧0 が成り立つようなαの範囲を求めると考えた方 が簡単です.その際, f(x) は偶関数なので,xの 変域を≧0に制限できることに注意します。 また, f'(x)=-sinx+2ax の符号の変化はわかりにくいので,もう一度微分 するのがよいでしょう. 「解法のプロセス =f(x) とおく 右左辺 変域を 0 に制限 ↓ f'(x)はわかりにくいので f(x) を調べる 解答> a≧0とすると 1-ax2≧1>cOS x を満たすxがあるので, α>0 である. 不等式の両辺は偶関数だから たとえばx= TANS G>>0) 0²) f(x) =cosx+ax²-1≧0 (x≧0) 02 ◆xの変域を制限する が成り立つαの範囲が求めるものである. f'(x)=-sinx+2ax f"(x)=-cosx+2a f'(x) の符号は不明なので cul \

最後の答えの部分なんですけど、なんでaに5と-5が＝として含まれるんですか？含まれたらこたえが四つになりませんか？

例題 重要例 120 連立2次不等式が整数解をもつ条件 000 xについての不等式x-(a+1)x+α < 0, 3x2+2x-1>0 を同時に満たす整数x がちょうど3つ存在するような定数αの値の範囲を求めよ。 指針 [摂南大〕 基本 37, 117 ①まず,不等式を解く。 不等式の左辺を見ると、2つとも因数分解ができそう。 なお,x2(a+1)x+α<0は文字αを含むから,αの値によって場合を分ける。 ②数直線を利用して、題意の3つの整数を見定めてαの条件を求める。 CHART 連立不等式 解のまとめは数直線 解答 x²-(a+1)x+a<0 を解くと a<1のとき a<x<1 a=1のとき 解なし α>1のとき 1 <x<a 3x2+2x-1>0を解くと (x-a)(x-1)<0 から ① (x+1)(3x-1)>0から x<-1, < x ...... ② 3 ① ②を同時に満たす整数xがちょうど3つ存在するの は α <1 または α>1 の場合である。 02 (1 α=1のとき, 不等式は (x-1)<0 これを満たす実数 x は 存在しない。 実数 A に対し A≧0は常に成立。 A'≦0 なら A=0 A'<0 は 不成立。 [1] α <1のとき 3つの整数xは x=-4, -3, -2 よって -5≦a-4 [2] α>1のとき 3つの整数xは x=2,3,4 [1] [2] -51-4-3-2-1 0 1 x a 3 '13 -101 2 4 x よって 4<a≦5 小 1 a 3 [1], [2] から, 求める α の値の範囲は -5≦a<-4,4<a≦5 3章 <-5<a<-4としないよ うに注意する。 a<x<-1の範囲に整数 3つが存在すればよいか ら, α=-5のとき, -5<x<-1となり条件 を満たす。 [2]のα=5のときも同 様。 13 2次不等式 不等号にを含むか含まないかに注意 上の例題の不等式が x2-(a+1)x+a≦0,3x2+2x-1≧0となると, 答えは大きく違ってく る (解答編 p.96 参照)。 イコールがつくとつかないとでは大違い!! -850 (0)=(x2) xについての2つの2次不等式 x²-2x-80,x2+(a-3)x-3a≧0 を同時に満たす整数がただ1つ存在するように, 定数 αの値の範囲を定めよ。 p.219 EX86

最初の式から理解ができないので解説お願いしたいです🙇🏻‍♀️

要点 11-8 三角方程式・三角不等式 三角関数の相互関係, 加法定理などの公式, 因数分解等を利用して sin X = α, cosX>β などの形を導く。 変数の値や範囲を求めるには単位円を用いると考えやすい。 例02のとき√3 cose-sin-1 をみたす 0 の値を求める (f) (2) caso √3 cose-sine=2{sin0(-1/2 +cose. 2 =2 (sindcos 123+coslsin 2/27) π 3 1|2 7-6 と変形できるから 3 = 2 sin (0+) π √3cosl-sino=1sin (02/23)=- ここで、0/02 より 12/22/12/2 8 π -πであるから 3 3 3 2 7 0+ T= 6 π, π 6 1/1より TC 7 0= π 2'6 Z 231 1-2 111 T 6 AX x

相加・相乗平均を使って範囲を調べるのはなんでですか？範囲を求める問題って沢山あると思うんですけど、どうしたら範囲を調べるっていう発想になりますか。

関数 y=4x+1-2x+2+2 (x≦2) の最大値と最小値を求めよ。 00000 / 関数y=6 (2x+2-x)-2(4*+4¯*) について, 2*+2=t とおくとき,yをt を用いて表せ。また,yの最大値を求めよ。 指針 (1)おき換えを利用。2*=t とおくと,yはtの2次式になるから 2次式は基本形α(tp)+αに直すで解決! なお、変数のおき換えは,そのとりうる値の範囲に要注意。 (2)まず,X2+Y2=(X+Y) -2XY を利用して, 4+4 を表す。 ・基本 173 で表すとの2次式になる。なお,t=2*+2* の範囲を調べるには, 20, 2-x>0 に対し, 積 2*2=1 (一定) であるから,(相加平均) ≧ (相乗平均)が利用で きる。 (1) 2^=t とおくと t>0x≦2 であるから 0<t≦2|pg⇔2°≦2° 解答 したがって <t≦4 y を tの式で表すと (1) ① ケ y=4(2")"-4•2"+2=4f-4t+2=4(t-12) 2+1 ①の範囲において, y は t=4で最大, t=1/2で最小とな gol y 50 最大 る。 t=4のとき 2=4 ゆえに x=2 のとき 2x= 1 10 2 10of ゆえに [豆] (1/2) 4 よってx=2のとき最大値50, x=-1のとき最小値1 (2)4*+4=(2x)+(2-x)=(2' +2'*)'-2・2・2x=-2 2F•2-1=2°=1 ゆえに y=6t-2(t2-2)=-2t2+6t+4 ...... 20, 2x 0 であるから,(相加平均) ≧ (相乗平均)よ 相加平均と相乗平均の関係 り(*)2+2222×2 すなわち t≧2…② a>0, 6>0のとき a+b √√ab 2 成り立つ。 ここで,等号は 2*=2x すな わちxxからx=0のときで -lo こ YA m17 最大 2 8 り立つ。) (等号はa=bのとき成 ①から y=-2(1-2/21)2+1/27 4 ② の範囲において,yはt=2 のとき最大値8 をとる。 x=0のとき最大値 8 32 3 2 t t=2となるのは, (*)で 等号が成り立つときであ る。 ( 5 5章 29 2 指数関数

解説のマーカーが引いてある部分の意味がわからないです。決まっていることなのですか？教えて欲しいです

*58 DDD A 虚数単位とする。 α を実数, mとnを自然数とする。 2次方程式 x+ax+50=0がx=m+ni を解にもつとき,組 (a,m, n) をすべて求め よ。 [23 東京都市大]

大問5A、解答解説お願いします。

魚) した 切な 点) なる 5 【A】 αは定数とする。 |x-3<6が|x-2<a の必要条件になるための正の整数 αの最大値を求めよ。 (8点) 【B】 整数を要素とする2つの集合 A, B を A = {2, 5, α2}, B={4, -1,α+6,9} とする。また, A∩B = {5, 9} とする。 (1) 定数a, b の値を求めよ。 (8点)

写真の質問がわかりません。特に範囲の決め方がわからないです。 詳しい解説お願いします。

y 問5 0≦0<2のとき,次の不等式を解け。 XX 1 sin(0+)/2 3 15 練習 24 002のとき,次の不等式を解け。 (1) cos (0+ 7/7) XA π 1 M (2) sin (0-1)<√3 2 6 (3) tan (4) 3 XX + > 2 ×△

なぜ範囲を定めるのに√3がでてくるのですか

289■指針■■ tan(a+β+r) の値を求める。 また,α++rの値の範囲に注意する。 tan(a +β)= tana + tanβ 1-tanatanẞ 2+5 7 = =- 1-2.5 9 tan (a +β+r)=tan{(α+β)+r} = 145 tan(a+β)+tanym 1-tan (a+β)tanroo 7 +8 9 = =1 Jei 7 •805)= (S) can b 9 ここで,√32<5<8であるから π tanm <tana <tanβ<tanr α, B, rは鋭角であるから <a<B<< β, π ß<r</ 3 よって π < α + B + r < ・π ゆえに,tan(a+β+r)=1から α+β+r= 54 注意 tan(a +β+r)=1から,α+β+r= 7 を答 Aust - 88 えとしてはいけない。 a+β+rのとりうる値の 範囲を調べる必要がある。 TT

イで、xが5まで入ればいいから、kは10より大きくて、11より小さいじゃだめなんですか？なんで12以下とあらわすんですか？

基本例 37 1次不等式の整数解 (2) kをk>2を満たす定数とする。 このとき, xについての不等式 /5x4x<2x+kの解は である。 また, 不等式 5-x≦4x<2x+kを満た す整数xがちょうど5つ存在するような定数kの値の範囲はである。 [北里大] 3 120 5-x≤4x (ア) 不等式 5-x≦4x<2x+kは, 連立不等式 と同じ。 4x<2x+k 指針 (ア)で求めた解を数直線上で表すと, 右の図のようにな 〇のを示す点の位置を考え、問題の条件を満 たすんの値の範囲を求める。 1234 56 x k 2 5-x≤4x 14x<2x+k 解答 5x4x から-5x≦-5 よってx≧1) P 1 k AX x 2 (0 4x<2x+kから 2x <k よってx< x<k ② 2 k2であるから, ①,②の共通範囲を求めて [S >から1/28 1 るりの1≦x< 2余るから、リンゴの また,これを満たす整数xがちょうど5つ存在するとき その整数xは x=1, 2, 3, 4, 54 >> きょと = Job ゆえに 5 ≤6 2 (*)ことがで まったり x>x (S) すなわち 110<k≤12 >x

（2）の数直線のとこで3a−2/4はなんで⚪︎なんですか⚫︎で表されるんじゃないんですか？

68 基本 例題 36 1次不等式の整数解 (1) (1)不等式 5x-7<2x+5を満たす自然数xの値をすべて求めよ。 3a-2 (2) 不等式 x <- 4 の範囲を求めよ。 000 を満たすxの最大の整数値が5であるとき、 定数αの値 指針 (1) まず, 不等式を解く。 その解の中から条件に適するもの (自然数) を選ぶ。 (2) 問題の条件を 数直線上で表すと、 右の図のようにな 基本34 基本 kk 5-x す整数 6 3a-2 x 指針 4 る。 のの 3a-2 4 を示す点の位置を考え、問題の条 件を満たす範囲を求める ▼自然数=正の整数 (1) 不等式から 3x<12 4は含まない 解答 したがって x<4 xは自然数であるから x=1,2,3 左 3a-2 (2)x< 4 を満たすxの最大の整数値が5であるから 1 2 3 4 * 解答 5 <- 3a-2 4 ≤6.. ...... (*) ara (st 4 3a-2=5のとき,不等 (0< 式は x<5 で,条件を満 3a-2 5- ・から 20<3a-2 4 たさない。J って、22 3a-2 4 よって a> ① =6のとき、不等 e>x 3 3a-2 8>* 式はx<6で,条件を満 ≦6から3a-2≦24 たす。 4 TO ① 26 よって as ② (S) 3 ① ② の共通範囲を求めて 22 51 3a-2 6 x 26 各辺に4を掛けて 20<3a-2≦24 各辺に2を加えて 22<3a≦26 22 26 各辺を3で割って <a≤ 3 3 注意 (*)は,次のようにして解いてもよい。 表す図 3 <a≤ 3 OSI ① わる。 検討 (22) >I 3 23 26 a