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(2) 定数 an, b, を用いて, f® (x)%3 (anx+b»)e* (n=1, 2, 3, …)と
重要例題159 第n次導関数を求める (2)
f(x)=x°e* とする。
(1) f(x) を求めよ。
(2) 定数 an, bn を用いて, f®(x)=(x+anx+bn)e* (n=1, 2 »
すとき, an+1, bn+1 をそれぞれan, bn を用いて表せ。
(3) frm(x) を求めよ。
領横浜市
指針> (2)fm(x)=(x?+anx+b,)e*の両辺をxで微分する。 得られた式と,
fa+(x)=(x?+an+1オ+6n+1)e* の係数をそれぞれ比較する。
(3) (2) で得られた漸化式から an, bnを求め, f®(x) の式に代入する。
解答
をえ。
4F(x)=x(x+2)e"
としてもよいが、 幻を見
(1)f(x)=2xe*十x°e*=(x°+2x)e"
(2) flm(x)= (x^+anx+bn)e*
のの両辺をxで微分すると
fn+1) (x)=(2x+an)e*+(x°+anx+b)e*
のとする。
えてこの形とした。
4(x)}
=(x+ax+b,ye
+(x*+ax+b.)\et
={x°+(an+2)x+an+ba}e*
また,①から
fa+1) (x)%= (x°+an+1x+bn+1)e*
③の右辺の係数をそれぞれ比較して
3
40のnをn+1におきま
える。
an+1=an+2,
bn+1=a,+b。
(3) (1) から
a=2, b」=0
(x)%3 (x+2x+0)e
an+1-an=2 より, 数列 {an} は初項 a:=D2, 公差2の等差数| 初項を a, 公差をdとす。
列であるから
と an=a+(n-1)d
an=2+(n-1)-2=2n
ー 0
よって
bn+1=bn+2n
4bn+1=Dbntan
bn+1-bn=2n より, 数列 (b.} は初項b、=0, 階差数列{2n} <数列 {an}は, 数列(5-
の数列であるから, n>2のとき
階差数列。
n-1
b,=0+ 22k=2n(n-1)=n"ーn
ガー1
くb,=b,+ Eas(n22
た=1
k=1
b.=0 であるから, これはn=1のときも成り立つ。
41°-1=0
ゆえに
bn=n°ーn
flm(x)%3 (x"+2nx+n'-n)e
くすべての自然数nに
て成り立つ。
したがって
| (x)=(3x+5)e*とする。
59 (1) f(x) を求めよ。
き, an+1, bn+1 をそれぞれ an, bnを用いて表せ。
(3) fm(x)を求めよ。
