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ただし,自然数とする。
(1)
x7
390
格子点の個数
重要 例題 28
次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点(x座標, y
ある点)の個数を求めよ。ただし, n は自然数とする。
(1)x0,y,x+2y2n
CHART & SOLUTION
W:2142
座標がともに整数で
00000
内部である
明日は右の図の赤く塗った三角形のお
(2) x≥0, y≤n², y≥x²
基本16
0
よって、格子点の総数は
2nykk点が並ぶ。yoさんと
(k=n,n-1,…, 0) 上には、
n-14
yak交点の食材
(2n-2k
-2k+1)=(2n-2.0+1)
なぜこの交点が
x=
-2k+2h
012
+
(-2k+2n+1)
格子点の個数
直線x=k または y=k上の格子点を求め加える
「不等式の表す領域」は数学Ⅱの第3章を参照。
具体的な数を代入してグラフをかき、 見通しを立ててみよう。
n=3のとき
(1) n=1のとき
n=2のとき
y
34
34
=x+2y=2
j
x+2y=2.2.
3
_x+2y=2-1
-20
-10
(x-2x-2y)
391
012-222-26
=2n+1-2•½n(n+1)+(2n+1))
=n+2n+1=(n+1) (個)
線分 x+2y=2n (0≦ymn)
上の格子点(
(0, n), (2, n−1), ·
(20)の個数はn+1
4(0, 0), (2n, 0), (2n, n),
2-21 2n
2-1
| k=0 の値を別扱いした
-212-2+(2n+1)!
+1
=-2(x+1)
y
-x+2y=2n
でもよい。
(n+1)個
2x
+(2n+1)(n+1)
3
(*) 長方形は、対角線で
種
2つの合同な三角形に分け
られる。よって
(求める格子点の数)×2
(対角線上の格子点の数)
=(長方形の隅および内
々
の
部にある格子点の数)
列
で見る
n=1のとき
1+3=4.
n=2のとき
1+3+5=9,
n=3のとき
1+3+5+7=16
一般(n)の場合については, 境界の直線の方程式 x+2y=2nから x=2n-2y
よって、直線 y=k (k=n, n-1,…, 0) 上には (2n-2k+1) 個の格子点が並ぶから、
(2n-2k+1)において, k = 0, 1, '''', nとおいたものの総和が求める個数となる。
(2) n=1のとき
-y+
n=2のとき
n=3のとき
ys
y=1
-y+
-9
-44
(n) を頂点とする長方形の周お
よび内部にある格子点の個数は (2n+1) (n+1)
ゆえに、求める格子点の個数をNとすると
2N-(n+1)=(2n+1)(n+1).......(*)
よってN=
N=1/12 ((2n+1)(n+1)+(n+1)=1/2(n+1)(2z+2)=(n+1)(個)
34
(2)領域は、右の図の赤く塗った部分の周および内部であ
直線x=(k=0, 1, 2,...,n-1, n)上には,
22+1) 個の格子点が並ぶ。
よって, 格子点の総数は
k=0
(n²-k²+1)=(n²-0²+1)+(n²+1-k²)
1
n=1のとき (1−0+1)+(1−1+1)=3,
n=2のとき
n=3のとき
-0
(40+1)+(4-1+1)+(4-4+1)=10,
(9-0+1)+(9-1+1)+(9-4+1)+(9-9+1)=26
一般 (n) の場合については, 直線x=k (k=0, 1, 2,...,n-1, n) 上には
1個の格子点が並ぶから,(n+1)において,k=0, 1,
ものの総和が求める個数となる。
また、次のような、 図形の対称性などを利用した解も考えられる。
(1)の別解 三角形上の格子点の個数を長方形上の個数の半分とみる。
このとき, 対角線上の格子点の個数を考慮する。
(2)の別 長方形上の格子点の個数から、領域外の個数を引いたものと考える
nとおいた
k=1
=(n²+1)+(n²+1)21-
k=1 k=1
=(n+1)+(n+1)n-1n(n+1)(2n+1)
=(n+1)(n+1)-1/2n(n+1)(2n+1)
=(n+1){6(n+1)-n(2n+1)}
=(n+1)(4n²−n+6) (1)
PRACTICE 280
1
長方形の周および内
部にある格子点の個数
(n+1) (n+1) から、領域
外の個数を引く。
次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点の個数を求めよ。 ただし, n は自然数と
する。
(1) x≧ 0, y≧0, x+3y3n
(2) 0≤x≤n, y≥x², y≤2x²
