数学II　剰余の定理の基礎問題（チャート）なのですが、緑色のラインで引いた部分て (x+1)(x+2)と解説にはありますが(x-1)(x-2)ではダメなのでしょうか

88 本例題 53 剰余の定理利用による余りの問題 (1) (近畿大) とき, P(x) をx-3x+2 で割った余りを求めよ。 [類慶応大) とき, P(x) をx+3x+2で割った余りを求めよ。 基本 52)(重要55 P(x) が具体的に与えられていないから, 実際に割り算して余りを求めるわけにはいか。 い。 このような場合, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。 特に, 余り Rの次数が割る式Bの次数より低い ことが重要なポイント ! 2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから, R=ax+b とおける。 条件から, この a, bの値を決定しようと考える。それには, 割り算の等式 A=BQ+R で, B=0 となる rの値 (これを● とする)を考えて, P(●)の値を利用する。 基本等式 A=DBQ+R [] R の次数に注意 2] B=0を考える CHART 割り算の問題 解答 (1) P(x) をx?_3x+2 すなわち(x-1)(x-2)で割ったとき の商をQ(x), 余りを ax+bとすると, 次の等式が成り立つ。 42次式で割った余りは, 1次式または定数。 7 条件から 9+XD+(x)○(7-) (1)3 (x)d 剰余の定理。また, ⑦の AB=(x-1)(xー2) P(1)=5 ゆえに ① 9=9+D 両辺にx=1 を代入する P(2)=7 ゆえに L=9+D ①, ② を連立して解くと よって, 求める余りは (2) P(x) をx?2土3x+2 すなわち(x+1)(x+2)で割ったとき の商をQ(x), 余りを ax+bとすると, 次の等式が成り立つ。 a=2, b=3 マ 9+D=(1)d 2.x+3 ▲2次式で割った余りは 1次式または定数。 AB=(x+1)(x+2) Aa, bの値を決定するため には, P(-1), P(-2)が必 要。そこで, ①, ② にそれ ぞれx=-1, x=-2を代 入する。 17 また, P(x) を x?-1, x?-4すなわち(x+1)(x--1), (x+2)(x-2) で割ったときの商をそれぞれQ(x), Q:(x) と P(x)=(x+1)(x-1)Q(x)+4x-3 … ① P(x)=(x+2)(x-2)Q2(x)+3x+5 すると これと⑦から -a+b=-7 ①から ②から P(-2)=-1 ③, ④ を連立して解くと これと③から -2a+b=-1 4 a=-6, b=-13 求める余りは ー6x-13 (1) 整式 P(x) をx+2 で割った余りが3, x-3で割った余りが1のとき 53 をxーxー6で割った余りを求めよ。 (し) 東敗 D

途中式のどこが違うかわからないです。 教えてください🙇‍♀️黄色チャートです。

He)nntiXn-4) = h(ntiXMt2)-6) 2nnt)nt2)- 6n(nt) 続するろつの整数12の倍数 かつ3の値数なので、 hlntl\nt2)は6の特数。 また-6n(nt)も6の倍数なので、nntsn-4)は6の倍数である。 2自然教をれとすると、カ=118+9. N-54t2 (以.4は整敬) 11火t9:5412→118-54-クの 火=-2 4=-3が1つの整数解? 1162)-5(-3) =ーク② の-Q 118-5ーク つ111-2)-5(3)= -7 111火t2)-51税0 1842)- 5(413) 1145は互いに素であるから、 火+2-5k→ メニ5k-2、 43=11k→4=11k-3 n:11X495 火= 5k-2を代入 n-/1(水-2)+9 = 55kー13 → 11842)= 5(4ィ3) (Kは整数)

赤の線と黄色の線を引いているところの文字が逆に変わっているのですが、何故だか分かりますでしょうか？ 教えてください🙏

A= BQ+R の形で書け。ただし,(2) は x についての整式とま 次の整式Aを整式Bで割り,商Qと余り Rを求めよ。また、 A= BQ+R の形で書け。ただし、2はxについての B= 2x°-2 (1) A= 2x°+ 4r°-x+3, (2) A= 4"-3ry + " B= 2x+y Action》 整式の割り算は,式を整理して筆算を行え 筆算による割り算の注意点 *割られる式(A),割る式(B)を降べきの順に整理する。 ·余り(R)は割る式(B)より次数が低い。 次数の欠けたところはあけておく。 既知の問題に帰着 数の割り算 25を7で割ると,商3,余り4 → 25 = 7×3+4 整式の割り算 AをBで割ると,商Q,余りR →A= BQ+R x+2 42-2= であることに 2x°-2) 2x°+ 4r x+3 2x -2.x 4x°+ x+3 4x -4 x+7 Q=x+2, 2.°+ 4.°-x+3= (2.r°-2)(r+2) +x+7 よって R=x+7 また KA= BQ+R (2) Aをxについて整理すると A= 4x°-3y°x+y° xについての影 からyを定動 -3xyのxの -3であるとま DAのでの種 あるから、筆 き,2次の項の ye -3y°x+ y° 2x+y) 4r 4.x°+2yx -2yx°-3y°x -2yx°- y°x -2y°x+y° -2y°x-y けておく。 2y Q= 2°ーージ また 4.°-3.rp"+y= (2.r+y)(2r-xy-y")+2y° よって yについての整れ て計算すると解は 練習9(2)参照 R= 2y° り 思考のプロセス

整数の性質の問題です。 エからわからないです。なぜgはrの約数なのですか？？

(数学I·数学A 第4間は次ページに続く。) aともの最大公約数をgbとrの最大公約数をhとする。 b8+と-ba ア=a- bq 太郎さんの証明 すなわち, gはbとrの オ である。 エ であるから,gはrの よって 0 g カ h であり エ である。同様にして, a=bq+rより hはaの 2 h カ g 50 ケ である。0, 2より g=h であるから,aとbの最大公約数と6とrの最大公約数は一致する。 2) に当てはまるものを, 次の0~①のうちから一つずク エ カ 選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。 0 0 < ④ 約数 6 倍数 6 公約数 公倍数 (数学I·数学 A第4間は次ページに続く。!

互除法の問題です 問題では100までの自然数なのに、写真の赤線の部分で、なぜ2から101までの範囲になっているのか教えて欲しいです

2数A, Bの最大公約数を(A, B) で表す。 (リ 7n+4 と 8n+5 が互いに素になるような 100以下の自然数nは全部でいく 次に、式の係数や次数を下げる要領で変形していくとよい。 最大公約数が関係した問題では,p.546 基本事項 互除法の応用問題 142 例題 2つの整数。 ることを示せ。 m. nの最大公約数と 3m+4n, 2m+3n の最大公約数は一致す 549 不 つあるか。 一例題141 aとbの最大公約数 いくと考えやすい。 a=bq+r 式の関係を a=bq+r の形に表す。 等しい bとrの最大公約数 (1) 3m+4n=(2m+3n)·1+m+n. 2m+3n=(m+n)·2+n, t m+n=n·1+m =-) 0-(1+) (3m+4n, 2m+3n)= (2m+3n, m+n) 差をとって考えても よい。 3m+4n-(2m+3n) よって =m+n, += (m+n, n) 2m+3n-(m+n) =m+2n, =(n, m) m+2n-(m+n)=n. したがって,m, nの最大公約数と 3m+4n, 2m+3n の最 大公約数は一致する。 m+n-n=m 3m+4n=a m=3a-4b 別解 のとおくと 2 12m+3n=b mとnの最大公約数をd.aとbの最大公約数をeとする。 0より,aとbはdで割り切れるから,dはaとbの公約数 である。ゆえに 同様に,2より,eはmとnの公約数で esd 3, ④から したがって,最大公約数は一致する。 (2) 8n+5=(7n+4)·1+n+1, 7n+4=(n+1)·7-3 ゆえに n=36-2a m=dm', n==dn' a=ea', b=eb' と すると,①は [d(3m'+4n')=a d(2m'+3n')=b 2は [e(3a'-4b')=m le(36'-2a')=n dse. の d=e (87+5, 7n+4)= (7n+4, n+1)= (n+1, 3) 7n+4 と 8n+5は互いに素であるとき, n+1 と3も互いに a=bq-rのときも 素であるから,n+1 と3が互いに素であるようなnの個数 を求めればよい。 の見 の」 ま 2Sn+1<101 の範囲に, 3の倍数は 33個あるから, 求める 自然数は (a, b)=(b, r) が成り立つ。p.54€ の解説と同じ要領て 証明できる。 100-33=67 (個) 76 の新であるこ

青チャートA 整数問題です。 合同式を使用して(3)までできたのですが(4)が分かりません。合同式を使用した解法教えてください🙏

486 C OOOO 基本 例題116 割り算の余りの性質 a, bは整数とする。aを7で割ると3余り, bを7で割ると4余る。このとき。 次の数を7で割った余りを求めよ。 本 (4) a2019 (1) a+26 (2) ab (3) a p.485 基本事項 [], [3 指針> 前ページの基本事項園の割り算の余りの性質 を利用してもよいが, (1)~(3) は, a=7q+3, b=7q+4と表して考える基本的な方針で解いてみる。 (3) (7q+3)*を展開して, 7×○+▲の形を導いてもよいが計算が面倒。 a*=(α')* に着目 し,まず,α' を7で割った余りを利用する方針で考えるとよい。 (4) 割り算の余りの性質4 α"をm で割った余りは, rm を m で割った余りに等しい を利用すると,求める余りは 「3%019を7で割った余り」であるが, 32019 の計算は不可能。 このような場合,まず α" を m で割った余りが1となるnを見つけることから始める のがよい。 A=BQ+Rが基本 (割られる数)=(割る数)× (商)+ (余り) CHART 割り算の問題 解答 a=7q+3, b=7d+4(q, q'は整数)と表される。 (1) a+26=7q+3+2(7q'+4)=7(q+2q')+3+8 別解 割り算の余りの性質 利用した解法。 (1) 2を7で割った余りは 2(2=7-0+2) であるか 26を7で割った余りは 2.4=8を7で割った余り に等しい。 ゆえに,a+26を7で割 た余りは3+1=4を7で 割った余りに等しい。 よって,求める余りは 4 (2) ab を7で割った余りは 34=12 を7で割った余り に等しい。 よって、求める余りは 5 (3) α'を7で た余りは 3=81 を に等し よっ くtpd= =7(q+2g'+1)+4 したがって,求める余りは (2) ab=(7q+3)(7q'+4)=49qq'+7(4q+3q')+12 =7(7qg+4q+3q'+1)+5 したがって,求める余りは (3) α=(7q+3)°=49q°+42q+9=7(7q°+6q+1)+2 よって, a'=7m+2(mは整数)と表されるから a*=(a°)°=(7m+2)°=49m°+28m+4=7(7m'+4m)+4 したがって,求める余りは (4) αを7で割った余りは, 3° を7で割った余り6に等しい。 よって,(α°)?=a°を7で割った余りは, 6°=36 を7で割った 余り1に等しい。 a2019-a2016g°=(α°) 36. g° であるから, 求める余りは, 1336.6=6 を7で割った余りに等しい。 したがって,求める余りは 4 5 4 余り 6 練習 a, bは整数とする。 aを5で割ると?金り 110

(1)の問題が分かりません💦 解説を見ても、なぜ最大公約数を記号で置くのか分かりませんでした。 解説よろしくお願いします🙇💦

自然数は 100-33=67 (個) 33×211 3a+76 東習 (1) a, bが互いに素な自然数のとき, は既約分数であることを示せ。 26 2a+56 n) E」

式の整理の仕方が全然分かりません (-29)などはどうやって出てきたのですか？ 教えてください🙇‍♀️

B 互除法の活用 154 と 69 の最大公約数は, 下の (A) の計算から1である。互除法の計管 を利用すると, 最大公約数1を154 と 69 を用いた式で表すことができる そのために,(A)の等式のそれぞれを, (B) のように移項しておくとよい。 (A) 互除法 5 154= 69·2+16 移項すると 16 = 154-69·2 69 = 16·4+5 移項すると 5=69-16-4 2 16 =5·3+1 移項すると 1= 16-5-3 3 5=1·5+0 割り算の等式a=bq+r において 余りrをa, bの式で表す。 ①, ②, ③の計算を逆にたどると 10 1=16-5·3 ③1を16, 5 の式で表す。 = 16-(69-16·4).3 ②より 5=69-16·4 を代入する。 =16·13+69·(13) 69, 16 について整理する。 = (154-69·2)·13+69·(-3) *Oより 16 = 154-69·2 を代入する。 三 = 154·13+69·(-29) 154, 69 について整理する。 よって 154·13+69·(一29) = 1

写真の波線の部分の式はどのようにしてたてたのですか？？ なぜイコールで繋がれて、なぜn+2がついたのかがわかりません💦どなたか教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

等式a=bq+rを満た す自然数 a, b, 9, Yに ついて,aとbの最大公 or|約数は,bとrの最大公 約数に等しい。 3n+16 と 4n+18 の最大公約数が5となるような 50 以下の 自然数 nをすべて求めよ。 105 解答 44+18-(3et16)L1tが+2 3n +16=(n+2)·3+10 よって, 3n+16 と 4n+18 の最大公約数は, 2+2と 10の最大公約 数に等しい。 10=2-5 であるから, n+2 と 10 の最大公約数が5になるとき, n+2 は奇数の5の倍数となる。 1<n<50 より3<n+2<52 であるからom C%3D0=".0= ( bom) %== ( bom) P== (OL bom|= IS="t=7ゴルー n+2=5, 15, 25, 35, 45 したがって n=3, 13, 23, 33, 43 OLbom) m 0

合同式についてです 緊急です🚨 10≡4 mod 3 というのは10と4をそれぞれ3で割った時に 余りが1になるので≡で結べるのは分かります。 しかし、17≡2 mod 3 これは17を3で割った時に余りが2に なるので、それと同じになるのは何かと考えた時に 17≡5 mo... 続きを読む

|0三4 (mod 3) ) 1