例題 13 nは整数とする。 次の命題を証明せよ。
n°が3の倍数ならば, nは3の倍数である。
対偶を証明する。3の倍数でない整数nは, 3k+1, 3k+2(kは整数)のいずれかの
形で表される。
対偶「nが3の倍数でないならば, n°は3の倍数でない」 を証明する。
nが3の倍数でないとき, nはある整数をを用いて3k+1, 3k+2のいずれかで表さ
指針
解答
れる。
[1] n=3k+1 のとき
n=(3k+1)°=27k°+27k°+9k+1=3(9k°+9k°+3k)+1
9°+9k°+3k は整数であるから, nは3の倍数でない。
[2] n=3k+2 のとき
n=(3k+2)°=27k°+54k°+36k+8=3(9k°+18k°+12k+2)+2
9°+18k?+12k+2は整数であるから, n° は3の倍数でない。
よって,対偶は真である。したがって, もとの命題は真である。 終
