青チャートの期待値の問題です。緑マーカーの式がよくわからないです。全敗のチームを選ぶために4C1をしているのかな…？というレベルです。どなたか教えて欲しいです！

47 4チームがリーグ戦を行う。すなわち、各チームは他のすべてのチームとそれぞれ 1回ずつ対戦する。引き分けはないものとし, 勝つ確率はすべて 1/12 とする。勝ち 数の多い順に順位をつけ, 勝ち数が同じであればそれらは同順位とするとき, 1位 のチーム数の期待値を求めよ。 [京都大] 15 →65,66

⑴でHに達する行き方が6通りだと求めて、全体と行き方が何通りあるか求めて確率を出すことはできますか？

662 第7章確 (1)の解 33 右の図は1辺の長さが2の正方形 OBHF を4等分 したものである。 点Oから出発して, 線分に沿って 移動する動点Pを考える。 Pは各点 O, A, B, C, D, E, F, G において、 直前に通過した線分を除 いて等確率で次の点に向かって移動する。 ただし, Hに到達するか一度通過した点に到達したらそこで 移動は終わりとする。 次の確率を求めよ. (1) 動点Pが移動距離4でHに到達する確率 (2) 動点Pが移動距離6でHに到達する確率 <考え方> 各点における次の点に向かう確率が異なることに注意する. (i) O, A, C, E, G XX 次に向かう点は 2方向 D. 2 0 A 次の点に行く確率・ 2 B アの場合の確率は, イの場合の確率は, (i) 点D <(1) の考え方> 点から点Hまでの最短距離は4だか ら,進む方向は右か上のみで, 下や左 0000 に進むことはない. 次に向かう点は 3方向 1.1 ・・1・・ 22 2 ウ エ オはイと同様で 1 1 1 1 2 2 3 2 E+ 次の点に行く確率 + PA D4 0011 G La for 動点Pが点Oを出発して, 移動距離4で点Hに到達する のは、次のいずれかである. CORAL 2001 ⑦ O→A→B→C→H (イ) O→A→D→C→H ウ (エ) O→A→D→G→H オ O→E→D→G→H O→E→D→C→H O→E→F→G→H 8 1 24 O カはアと同様で 24' 5 よって、求める確率は1/3×2+ 12/1×4=1/28 -X4=- CA 1 3 18 -1- THE F D A (04 横浜市立大) (iii) AB, F 次に向かう点は 1方向 1 A 次の点に行く確率1 1 2 B 樹形図で考えると, _B→C→H DECH →G→H C-H EDGH "F→G→H O→A→B→C→H O→A→D→C→H 1. 1/11/11/ 32 20

何にかかっている摩擦かを考える問題なのですが、イマイチ考え方がわからないです。 ？マークのある問題も解説お願いします🙇‍♀️

(2) 次の矢印はそれぞれ何にかかっている摩擦か答えよ。 答え 物体A 台 物体B 物体A 物体B 物体 (1) 床 床 物体A ① 1 (2 弾丸 4 床 (4) 糸 糸 例 ①物体A 物体B 物体B 床 また、物体A,Bが静止している状態から糸を手で引っ張ると物体 A,Bともに動いた。 それぞれどちらに動いたか? 物体A(T)物体B ( 16 ) Es 弾丸が物体の中を右に進んでいる 手で引っ張っている 物体Aが物体Bの上を右に滑っている 2 手で引っ張っている 物体B 2 (3) また、物体A,Bが静止している状態から糸を手で引っ張ると物体 A,Bともに動いた。 それぞれどちらに動いたか? 物体A(To ) 物体B(右) ① 物体A ②物体B. ③物体 NO2 1 物体 ②物体 また、物体Aは台から静止していた物体Bに 向かって右に進んだとすると、 物体Bはどち らに動いたか?その理由も書くこと。 て ) 方向( (理由) ①弾丸 ②物体 ③物体 また、弾丸は左から飛んできて、 静止してい た物体に入っていった。 その後、 物体はどち らに動いたか?その理由も書くこと。 方向(右) (理由) 違うから

この問題を解説して頂きたいです。

第3問 (選択問題) (配点20) 以下の問題を解答するにあたっては、 必要に応じて19ページの正規分布表を 用いてもよい。 (1) 連続型確率変数Xのとり得る値の範囲がs≦X≦t で,確率密度関数が f(x) のとき, Xの平均E(X) は次の式で与えられる。 E(X)=f'xf (x)dr kを実数とする。 連続型確率変数Xのとり得る値の範囲が-2≦x≦2で あり,その確率密度関数が $42625 [k(1-x) (-2≦x≦1のとき) 【k(x-1) (1≦x≦2のとき) f(x)= であるとする。 このとき, S' f(x)dx = | ア イ ウ であり,-1≦X≦1となる確率P(−1≦X≦1) は k= である。 P(−1≦X≦1)= である。 また,Xの平均E(X) は カキク E(X)= であるから I E(Y)= So fonda I took Byt, Ho ケコ であり, Y=5X+ 4 とおくと, Y の平均 E(Y) は サ シ &TIO »

赤枠部分の式変形の過程を教えて下さい

よって,n=k+10 [1], [2] から, すべての自然数nについて(A)が 成り立つ。 (2) [1] n=1のとき 左辺=1,右辺=2.1=2 よって, n=1のとき, (A)が成り立つ。 [2] n=kのとき (A) が成り立つ, すなわち 1+ <2√E 1 1 + √√2 √√3 が成り立つと仮定する。 n=k+1のときの(A) の両辺の差を考えると 2√k+1 1 - (1 + √√/2 >2√√k+1-2√k- + + + 1/3+++ ・+ + 1 √k+1 (2k+1)-2√k(k+1) √k+1 /k 2(√k+1)2-2√/k√k+1-1 vk+1 (3) [1] n=1のとき 1 k+1 /k+1-√k)² vk+1 すなわち 1 + 1/2 + 1/3 + + √²+1 <²√/F+1 -<2√√k+1 √√2 vk+1 よって,n=k+1のときも (A) が成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて (A)が 成り立つ。 >O 左辺 = v1.2 = √2,右辺=(1+1² = 2 成り 2

赤い丸で囲んであるところが全くわからないです…💦

重要 例題 232 媒介変数表示の曲線と面積 (2) 媒介変数tによって, x=2cost-cos2t, y=2sint-sin2t (0≦t≦) と表される右図の曲線と, x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 PALER CH CHART 解答 図から, 0≦t≦↑ では常に y≥0. また OLUTION 基本例題228 では,t の変化に伴ってxは常に増加 したが, この問題ではxの変化が単調でないとこ ろがある。 右の図のように、 t=0 のときの点をA, x座標が 最大となる点をB (t=to でx座標が最大になると する), t=π のときの点をCとする。 この問題では点Bを境目としてxが増加から減少 に変わり, x軸方向について見たときに曲線が往 復する区間がある｡ したがって, 曲線 AB をy, 曲線 BC を とすると, 求める面積Sは CONTO S=Synx Synx と表される。・・･・・ 2008 y=2sint-sin2t=2sint-2sintcostanial =2sint(1-cost) よって, y=0 とすると 0≦t≦x から t=0, π 次に, x = 2cost-cos 2t から dx dt -=-2sint+2sin 2t =-2sint+2(2sintcost) =2sint(2cost-1) 0 <t<π において 1 FAVO dx - = 0 とすると, sint> 0 から dt 「 cost=- ゆえに π t=₁ よって、xの値の増減は右の表のようになる。 sint = 0 または cost=1+sajest 15 0<a Fachs C In t dx dt x よって,xの値の増減を調べ, x座標が最大となるときのtの値を求めてSの式 を立てる。また,定積分の計算は,置換積分法によりxの積分からの積分に直 して計算するとよい｡ -3 t= を求めている。 y2 0 0 1 0000 y₁ 13 S 曲線が往復 している区間 (小 ... yA + 0 Hinf. 0≦t≦π のとき sint≧0,cost≦1 から y=2sint(1-cost) 20 としても,y≧0 がわかる。 0 A 1 t=0+ π 3 0 3 2 基本 228 *** •B TI [] t=to π 0 -3 ゆえに, osts におけるy をyi, sts におけるyを X=- 20030-caso =2-1 [ ] とすると, 求める面積Sは s=S²¸y=dx−Svidx ここで、0≦ osts において、 x=1のとき t=0, であるから また、において x=2のとき 一 であるから よって 3 x= のとき S² vidx=Sy dx ここで dt dt x=3のときt=" S²¸yzdx=Syddt t=7 s-Syndx-S² vndx-Syddi - Sydd dt dx -Sidedt + Sy dr dt-Sydx dt =S(2sint-sin2t)(−2sint+2sin2t)dt = S-2s -2sin22t+6sin2tsint-4sin't)dt =2f (sin2t-3sin2tsint+2sint)dt 4t sin 2t dt-S¹-cost dt-t-sin 4- ・dt=- 2 (3sin2tsintdt-3" 2 sint cost-sintdt EES S2 sintdt=2^1-69824dt=[1-1/2 sin24] 月 sin'tdt=2f"1-cos2tat=| =1 S= = -65 sint cost dt = 65" sinºt(sint)dt = 6-sin't] =0 =6 Y -3 注意 と は,xの式と しては異なるから |Sydx-vidx=S_¸ydx としてはいけない。 一方の式としては同じ y=2sint-sin2t) で表さ れる。 355 Sf(x) dx = -f(x) dx Sf(x) dx + f(x) dx -Sof(x)dx ← S₁ƒ (x) dx = -S₁ƒ (x) dx 1-cos 20 2 inf. 積和の公式から 3sin2tsintdt sin'0= ---√ (cos (cos 3t-cost)dt -sin 3t- =0 したがってS203 としてもよい。 [inf. この例題の曲線は, カージオイドの一部分である(p.103 補足参照)。 Tri y PRACTICE・・・･ 232 ④ 媒介変数tによって, x=2t+t, y=t+212 (-2≦t≦0) と表される曲線と, y軸で 囲まれた図形の面積Sを求めよ。 ds de 8章 25 20

至急お願いします！ 高校数学の確率分かる方教えてください！

16 2つの箱 A,Bがあり、それぞれの箱の中には1,1,1,②, 2, 3 の6枚のカードが 入っている。また、数直線上に2点P, Q があり、最初のPの座標は0,Qの座標は6である。 次の操作 S, 操作 Tにより, P, Q を数直線上で動かす。 操作S:箱A からカードを1枚取り出し、カードに書かれた数だけP を今ある場所から 正の向きに動かし、 カードを箱A の中に戻す。 操作 T : 箱Bからカードを1枚取り出し､ カードに書かれた数だけQ を今ある場所から 負の向きに動かし、 カードを箱Bの中に戻す。 (1) 操作Sのみを2回繰り返し行う。 (i) 2回目の操作後に、 Pの座標が6となる確率を求めよ。 (ii) 2回目の操作後に、 Pの座標が4となる確率を求めよ。 (2) 操作S、操作Tを同時に1回行うことを操作U とする。 操作Uを3回繰り返し行う。 (i) 1回目の操作後、 2回目の操作後、 3回目の操作後のいずれかでPの座標とQの座標がと もに3となる確率を求めよ。 (ii) 1回目の操作後、 2回目の操作後、 3回目の操作後のいずれかでPの座標とQの座標が一 致したとき、その一致した座標が3である条件付き確率を求めよ。

赤線を引いてあるところが分かりません。解説お願いします。

練習 0≦2のとき,次の方程式, 不等式を解け。 ③ 145 (1) 2cos20+cos0-1=0 (3) 2cos20+ sin 0-2≦0 (1) 方程式から (cos 0+1)(2cos 0-1)=0 cos0=-1, 1/2 よって 0≦0 <2πであるから, cos0=-1 より 0π したがって、 解は COS O 0= π K/G 3 π -1/23より6-17/12/1/30 0= + T. (2) 2cos20+3sin0-3= (4) 2 sin tan0=-3 5|3 π T&T

2枚目の⑤よりn≧2はどうしてですか？⑤の式にn＝0を入れても大丈夫だと思うのですが、、、。

k+1,k +2以外か 象の余事象 1=(n-2) 2 P(A) の の札 そのうち3個 二赤の玉を取り こり始めるとき, 2(2n+1)(2n-1) 点を中心とする円周上に3点A,B,Cがあり, 円外に点Dがある. それらが右の図のように実線で結ばれている. 今、動点Pが点Aか らスタートし、1秒ごとに実線で結ばれた隣の点に等しい確率で移 動する. 点0 および点Dに到着したらそこで停止するものとし,点 Dにn秒後に初めて到着する確率をd, とするとき, dn をnの式で 表せ. よって、求める確率は, B1.57 n秒後に点Pが3点 A, B, C にいる確率をそれぞれ an, bm, Cm とすると, 1 dn+1=3 Cn an+1=120m Cn bn+1= + 3 3 Cn+1=- an an Cn 2 ・③ 161.92 ns ⑩①C D htl's →D B B1 B2 C1 C2 学係

この問題の2と3が分からなくて答え見てもサッパリですわかりやすく教えていただきたいです🙇　　　 紙きたなくてすみません

応用 4 不等式 ただし, αは定数である。 (1) 不等式 ①,②をそれぞれ解け。 標準 (2) 不等式①と②を同時に満たす整数がちょうど2個存在するようなaの値の範囲を求めよ 2/C3 100. L 標準 (3) 2次方程式x- (2a+1)x+a²+a=0の2つの解がともに不等式①とその共通範囲内にあ X2² Sa-6 るようなαの値の範囲を求めよ。 x-2a x=320 sx=4... ② がある。 /x-1①, 3 32-2 5 56 数と式 2155X22X 31+9681772 23251-109²376-12