-
![]()
ことがわかっ
基本
67 3次方程式が2重解をもつ条件
①①①①①
3次方程式x+(a-2)x-4a=0が2重解をもつように, 実数の定数αの値を定
めよ。
[類 東北学院大 ]
基本 65
複素数の和
気もまた複素数
ら、複素数を
る多項式につ
の算の等式が
は次式
指針 方程式(x-3)(x+2)=0の解x=3を,この方程式の2重解という。また,
方程式(x+2) (x-2)=0の解x=-2を,この方程式の3重解という。
まず, 方程式の左辺を因数分解して, (1次式)×(2次式)=0の形に直す。
方程式が (x-α) (x2+px+g)=0と分解されたなら, 2重解をもつ条件は
[1] x2+px+g=0が重解をもち, その重解は xキα
[2] x2+px+g = 0 がα とα以外の解をもつ。
→ 2重解はx=α
であるが, 一方の条件を見落とすことがあるので,注意が必要である。
なお,[1] は,2次方程式の重解条件と似ているが, 重解が xキαである ( x = αが3重
解ではない)ことを必ず確認するように。
与えられた3次方程式の左辺をα について整理すると
(x2-4)a+x-2x2=0
(x+2)(x-2)a+x2(x-2)=0(-1)
(x-2){x2+(x+2)}= 0
(x-2)(x2+ax+2a)=0
または
x-2=0
x2+ax+2a=0
よって
この3次方程式が2重解をもつのは,次の [1] または
[2] の場合である。
次数が最低のαについ
て整理する。 また
P(x)=x3+(a-2)x2-4a
とするとP(2)=0
よって,P(x)はx-2を
因数にもつ。
これを利用して因数分解
してもよい。
解答
か
b-
に対し
[1] x2+ax+2a=0がx=2の重解をもつ場合。
判別式をDとすると
D=0 かつ
a
≠2
2･1
D=α2-4・1・2a=a(a-8) であり, D=0 とすると
a=0,8
a
ここで,
≠2から αキー4
2.1
2次方程式
Ax²+Bx+C=0 の重解
は
B
2A
α=0, 8はαキー4 を満たす。 「
[2] x2+ax+2α=0の解の1つが2で,他の解が2でな
い場合。 2が解であるための条件は 22+α・2+2a=0
これを解いて a=-1
[2] 他の解が2でない, と
いう条件を次のように考え
てもよい。
このとき, 方程式は
(x-2)(x-x-2)=0
したがって
(x-2)^(x+1)=0
ゆえに, x=2は2重解である。
以上から
α=-1,0,8
他の解をβ とすると解
と係数の関係から
2β=2a
β≠2から a=2
■ αを実数の定数とする。 3次方程式(a+1)x-a=0
(1) ①が2重解をもつように, αの値を定めよ。
①について
(2) ①が異なる3つの実数解をもつように, αの値の範囲を定めよ。
