弄
259 等比数列と図形
半徐1の円Gに 内接する正 三角形を へPiQiR」 とし,
APQiRi の内接由 ]を Cy とする。 右の図のように,
APiQiRi と国 〇 の接点を P, Q。, Rs とし, ムハP。Q5R2
の内接円を G。 とする。 この作業をくり返してできる
| 個目の円を C。 とする。
U) 回C, の半径な を求めよ。
| 円C。 の面筑を 5。 とするとき, 5i十5s十
・圭5, を求めよ。
ACtIOn! くり返し行う操作は, 7番
目と (ヵ十1) 番目
の関係式を利用せよ
解法の手順………1 |半径, との関係式を求める。
2 | /,) が等比数列になることに注目し, その一般項を求める。
3 | 【S,} が等比数列になることに注目し, その和を求める。
この作業をくり返してできる 7
AAN。 を全@。
右の図において, O は正三角形
PQR,。 の外心でもるから
2Z0QPzmモ307, 0OP,.1Q,。 90?
NO 0⑩Q衣(0OP二還三2l
0Q⑩,。 = 20P話」 より
すなわち なー 人
U)
個目の正三角形を
7 三 27ュ
7
ゆえに, (> は初項 (NGk 人 の等比列であるから
IO)
amd-り"0
2(み1)
0
よって, {5 は初項z。公比二の第
項 z。公比 ィ の等比数列でぁるか
EC
ーー
ら
Si十 S。 十・・・-PO
<へOP iQ の辺の比か
ら C, の半径 とCe
の半径 7みm の関係式 式を
愉の計
<初項。 は, 円G の
であるから カニ
<ロー om ー(の0
ACE
