解答
3 が無理数でないと仮定する。
このとき 3 はある有理数に等しいから, 1以外に正の公約
数をもたない2つの自然数a,bを用いて√3=1 と表される。
03
306
ゆえに
a=√36)
どの条件を用いて
両辺を2乗すると
α2=362... ①
よって, α²は3の倍数である。
$\d+
dc10=
α2 が3の倍数ならば, αも3の倍数であるから, kを自然数
としてa=3k と表される。-
(42+x)+(1-
これを①に代入すると
9k2=362
すなわち
62=3k2
よって, 62は3の倍数であるから, も3の倍数である。
ゆえに,αと6は公約数3をもつ。(1) が結果を
これは, aとbが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾す
る。
したがって 3 は無理数である。