Question

kona

高校1年生の数学の問題です！
写真は解説です！🙌
｢aとbが1以外に正の公約数を持たないことに矛盾する｣ことは理解できるのですが、それが√3は無理数であることにどう繋がるのかがわかりません😿
解説お願い致します🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️🙏

解答
3 が無理数でないと仮定する。
このとき 3 はある有理数に等しいから, 1以外に正の公約
数をもたない2つの自然数a,bを用いて√3=1 と表される。
03
306
ゆえに
a=√36)
どの条件を用いて
両辺を2乗すると
α2=362... ①
よって, α²は3の倍数である。
$\d+
dc10=
α2 が3の倍数ならば, αも3の倍数であるから, kを自然数
としてa=3k と表される。-
(42+x)+(1-
これを①に代入すると
9k2=362
すなわち
62=3k2
よって, 62は3の倍数であるから, も3の倍数である。
ゆえに,αと6は公約数3をもつ。(1) が結果を
これは, aとbが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾す
る。
したがって 3 は無理数である。

命題 証明 数ⅰa 高校1年生 高校生

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

最初に√3＝a/bと指定しますね。
これは、aとbは1以外に公約数を持たないa,bなのです。

①でa²＝3b²から、aは3の倍数であることが立証されました。
また、b²＝3k²から、bも3の倍数であることが立証されました。

最初に「aとbは1以外の公約数を持たない」と言っているのにもかかわらず、証明を進めていったら、aもbも3の倍数なんて答えが出てきてしまったのです。これでは矛盾するよね、じゃぁ√3は有理数じゃないよね、って考えです。

いかがでしょうか。

kona

回答ありがとうございます🙇‍♀️✨
最初に指定された式の右辺が矛盾しているので左辺も矛盾しているだろうという認識であっているでしょうか、、、？🥲🥲

きらうる

そういうことです。

kona

ありがとうございます😭✨