(1)は解けたのですが、(2)になるとわからなくなります。 教えてください！

限の角であ cos a>0 a 3 ann 頑雑。 限の角であ in 8>0 s²α=1 Ds2β=1 4 の値を求 -B) 基本例題 129 (①) 2直線y=3x+1,y=2x+2のな (2) 直線y=2x-1 と a tanq=3 tan 解答 (1) 図のように, 2直線とx軸の正 の向きとのなす角を,それぞれα, β とすると, 求める角は 0=α-β tan β= CHART & SOLUTION 2直線のなす角 tan の加法定理を利用 (1) 2直線とx軸の正の向きとのなす角をα, β とし, 2直線のなす角0を図から判断。 tanα, tan β の値を求め, 加法定理を用いて tan (α-β) を計算し,α-βの値を求める。 (2) 求める直線は, 直線 y=2x-1 に対して2本存在する。 この直線とx軸の正の向きと のなす角を考える。 tan0=tan (a-β)= 2直線のなす角 2 tan(a+7)= -(3-1/2)÷(1+3.1/2)=1 π 08 < 1 であるから 0=4 = との角をなす直者を求めよ。 (2) 直線 y=2x-1 とx軸の正の向 きとのなす角をα とすると tana=2 であるから tana-tan B 1+tan a tan 2±1 1+2.1 tana±tan 1Ftan a tan π 4 (複号同順) よって, 求める直線の傾きは -3, Peament 1-3 -4 y=3x+1+ y=1/23x+2 2 π 4 B a O 7X 0 << n を求めよ。 3 2 yA Ka a 10 0 x /y=2x-1 p. 207 基本事項 18 別解 (p.207 基本事項2の 公式を利用した解法) 2直線は垂直でないから 3- tan0= 1 2 1 2 << であるから 0=7 P RACTICE 129② (1) 2直線y=x-3, y=-(2+√3)x-1のなす鋭角を求めよ。 め (2) (13) を通り, 直線y=-x+1と 5|25|2 1+3.. -=1 2直線のなす角は, それ ぞれと平行で原点を通 る2直線のなす角に等 しい。 そこで,直線 y=2x-1 を平行移動 した直線y=2x をも とにした図をかくと見 通しがよくなる。 の角をなす直線の方程式を求めよ。 4章 17 加法定理

(１)中心cは直径abの中点ってなんでわかるのですか？ 球面の方程式って聞かれたら標準形と一般形を覚えなくてはならないのですか？

。 12 標 る 2 b です球面の方程式を求めよ。 次の条件を満たす。 2点A(1,2,4), B(-5, 8, -2)を直径の両端とする。 (x-a)²+(y-b)²+(2-c)²=r² > 球面の方程式には, 次の2通りの表し方がある 1 (2) 点 (5, 1,4)を通り, 3つの座標平面に接する 球の中心や半径のいずれかがわかる場合は, 1 標準形 を用いて考える。 ② 一般形x2+y2+² + Ax+By+Cz+D=0 (1) 「線分 AB が直径」から, 中心 Cは線分ABの中点。 また (半径) AC BC また,x>0,y0,z>0である点を通ることから,中心の座標は半径を用いて表すこ (2) 「3つの座標平面に接する」 から,中心から各座標平面に下ろした垂線が半径。 Y とができる。 この球面の中心Cは直径 ABの中点であるから (1) d125 1-5 2+8 4/22) すなわちC(-2,5,1) また、球面の半径をrとすると =AC2=(-2-1)+(5-2)+(1-4)227 よって (x+2)+(y-5)+(z-1)=27 半径r=3√3 ① 標準形で表す。 球面が各座標平面に接し、かつ点 (5, 1, 4) を通ることか <x>0,y>0,z>0の部 半径をrとすると,中心の座標は(r, r, r) と表される。 にある点を通ることから 中心もx>0,y0,z> (x-r)^2+(y_r)^2+(zr)^²=re の部分にある。 ゆえに、球面の方程式は 点 (5, 1, 4) を通るから r2-10r+21=0 (5-r)²+(1-r)²+(4-r)² = r² ゆえに (r-3)(r-7)=0 したがって r=3, 7 M.P.3 基本事項 中心と半径が見える形。 (x-3)²+(y-3)²+(2-3) ²=9 #l (x-7)²+(y-7)²+(z-7)²=49 答えは2通り。 焼 直径の両端が与えられた球面の方程式 2点A(x1, y1, 1), B(X2, y2, zz) を直径の両端とする球面の方程式は 7 ) = 0

この問題の(2)を教えて欲しいです！

和から等比数列の決定 例題12 公比が3,初項から第6項までの和が728の等比数列の初項を求めよ。 00000 (2) 初頭が2,公比が3, 和が242である等比数列の順数を求めよ。 (3) 初項a,公比がともに実数の等比数列について、 初項から第n項までの 和をすると, Sa = 3, S627 であった。このときの値を求めよ。 (3) 大阪工大]A33 基本事項 1 SOLUTION CHART 等比数列の決定 まず初項αと公比r 和が与えられた問題では、数々についても考える。 の値が与えられていないので, 和の公式を使うとき,r=1 と キ1 に分けて考える (1),(2),(3) (3) 必要がある。 解答 (1) 初項をaとすると、条件から よって, α(1-729)=4･728 から ( 2 ) 項数をnとすると,条件から 3-1=242 ゆえに したがって, 項数は n=5 これに ① を代入すると よって r3=8 r=2, ① から all-(-39). a=-4 2(3-1) 3-1 すなわち a= SHOREH? (3 S3=3a, S6=6a (3) r=1のとき 3a=3,6a=27 を同時に満たす α は存在しないから不適。 a(³-1) r-1 F"(x + a(rº-1) FUR ...... ② y=1のとき, S3=3 から また, S6 = 27 から 1=27 r-1=(x3)2-1=(x-1)(23+1) であるから,②より a(r³−1). (r³+1)=27 r-1 -=728 -=242 3"=35 -=3 3(3+1)=27 rは実数であるから r=2 (1) 公比 3. 項数 n=6の等比数列の和が 728 である。 S₁ = a (x²-1) 243-35 ← 等比数列の和の公式を 使うときは、まず、公比 rが1であるかどうか を調べる。 a(r³-1) r-1 の 2 7a=3 W -•(³+1)=27 に3を代入 PRACTICE 12② 第3項が 12, 第6項が-96である等比数列 (公比は実数) において, 第7項 は 3072 であり,初項から第 項までの和は513である。 実数 r>0 を公比とする等比数列 an = ar”-1 (n=1,2,....) において,初項か ら第5項までの和は16で、第6項から第10項までの和は144 である。このとき, 第11項から第20項までの和を求めよ。 001J [愛知]

(2)の問題の解き方がわかりません！ 教えて欲しいです。

SOGNIA 368 基本 例題 11 等比数列の和 (1) 初項3,公比 4, 項数nの等比数列の (2) 等比数列1, a, d', の初項から (3) 等比数列 27, 9, 3,・・ の第6項か CHART & SOLUTION 等比数列の和 まず初項a,公比r, 項数nの確認 初項から第n項までの和S” は r1 のとき S=(1-r") = a(z"-1) 1-r r-1 r=1のとき Sn=na x>1 のときは分母が-1の式, r<1のときは分母が 1- の式を使うと、分母が正と なり、計算しやすい。 (3) S10-Ss として求めてもよいが, S10 の計算が大変。 第6項を初項とみて, 項数が5の 等比数列の和として求めるとよい。 解答 (1) 求める和は (2) 初項1,公比 α, 項数nの等比数列の和であるから 1-(1-a") 1-an α=1のとき 1-a 1-a n ･l=n α=1 のとき 9 27 27(-3) ²= 1/ (3) 初項27,公比 3(4"-1) =4"-1 4-1 3 1 であるから, 第6項は ゆえに,求める和は,初項 1,公比 項数 10-6+1=5 の等比数列の和であるから {{1-(3)} その和を求めよ。 までの和を求めよ。 --3--3/-(1- 1= 92 PRACTICE 11⁹ (1) 等比数列 3, 94, 27², (2) 等比数列 512,256,128, ****** ⓒp.365 基本事項 1 121 243) - — 243-729 6 Sh=g( r-1 int (2) の結果から、 a=1のとき 1tatat.... to 1-a² 1-a ☆ S10-Ss で計算すると 27-3/(1- 1 59049 11 の初項から第n項までの和を求めよ。 (1 ←第k項から第1項 <) までの項数は l-k+1 +1を忘れないように。 の第11項から第15項までの和を求めよ。

どうやってy＝9.3xのグラフを書くのですか？ x＝−2でy＝1となる計算の仕方を教えてください。 (1)

次の関数のグラフをかけ。 また, 関数 y=3のグラフとの位置関係をいえ。 Bay ooooc (2)y=3x+1 (1) y=9.3x (3) y=3-9% 指針y=3* のグラフの平行移動・対称移動を考える。 y=f(x) のグラフに対して 解答 y=f(x-b)+α y = -f(x) (3) 底を3にする。 y=f(-x) y=-f(-x) _1) y=9・3*=32.3x=3x+2 したがって, y=9・3のグラフは, y=3のグラフをx軸方向に2だけ平行移動したもので ある。よって, そのグラフは下図 (1) -)y=3x+1=3(x-1) y=3xのグラフをx軸方向に1だけ平行移動したもの, す したがって, y=3x+1のグラフは2個 なわちy=3* のグラフを軸に関して対称移動し、更に 軸方向に1だけ平行移動したものである。 よって,そのグラフは下図 (2) x y=3-9² = − (3²) ²+3=3*3²8 y=9.3* x軸方向にか、y軸方向にだけ平行移動したもの x軸に関して y=f(x)のグラフと対称 軸に関して y=f(x)のグラフと対称 原点に関して y=f(x)のグラフと対称 したがって, y=3-9 のグラフは 3" のグラフ (*) をy軸方向に3だけ平行移動したもの, YA y=3x 9 -2 -2 234 (*)y=-3* と ラフはx軸に すなわちy=3*のグラフをx軸に関して対称移動し、更にyx軸との交点 - 3*+3=0t 軸方向に3だけ平行移動したものである。 hy よってx= よって, そのグラフは下図 (3) Zkum (2) y=3x+1 +1¹ 22 B + s ( 14 Pl Ay ly=3 13 -y=3x+1 p.260 基本事項 [1 +1 注意 (1) y=3のグ y軸方向に9倍した もある｡ (3) y=3xとy=3* はy軸に関して +3 YA +3 17 13 12 0 y=3* y=3-9 +3

微分係数が存在するかしないかって 右側極限の微分と左側極限の微分が合うか合わないかのみによるという理解でよいですか？

連続で [+] (②) 連続 T 分 ■数 60 関数の連続性と微分可能性 /関数f(x)=x^2/x-2|はx=2において連続であるか、 微分可能であるかを調べ p.106 基本事項 62 検討 [例題] f(x)がx=αで連続limf(x)=f(α) が成り立つ f(x) が x=αで微分可能微分係数 lima+h)-S(α) h オー lim f(x) X 2+0 これらの極限について調べる。 f(x)はx=2の前後で式が異なるから、例えば連続性については、右側極限 20, 左側極限x2-0 を考え,それらが一致するかどうかを調べる。 =limx2(x-2)=0 x-240 lim f(x) x-2-0 =lim{-x2(x-2)}=0 x2-0 また, f(2)=0 であるから lim f(x)=f(2) X-2 よって, f(x)はx=2で連続である。 次に = lim h+0 ƒ(2+h)-f(2) h lim h-0 f(2+h)-f(2) h =lim h→+0 h→+0 =lim(2+h)=4 ya lim h-0 (2+h)³h-0 h (2+h)²(−h)-0 h =lim{-(2+h)"}=-4 h-0 h→+0とん → 0 のときの極限値が異なるから, f' (2) は存在しない。 すなわち, f(x)はx=2で微分可能 ではない。 微分可能連続の利用 f(x)がx=αで微分可能x=α で連続 y=f(x) (2) f(x)= X 0 107 00000 F p.97 基本事項■ が成り立つ。 よって、上の例題のような問題では,微分可能性から 先に調べてもよい(「微分可能」がわかれば、極限を調べなくても 「連続である」という結論を出すことができる)。 また、⑩の対偶「f(x)がx=4で連続でない⇒xaで微分 「可能でない」 も成り立つ。 x 1+2 + が存在する。 4A= を用いて、絶対値をはず A (A20) -A (A<0) ◄f(2+h)-(2+h)²|h|| ん→ +0のとき >0 ん→-0のとき <0 に注意して、 絶対値をは ずす。 練習 次の関数は, x=0 において連続であるか, 微分可能であるかを調べよ。 260 (x=0) (1) f(x)=|x|sinx (x=0) 微分可能 [(1) 類 島根大〕 p.115 EX 48 3 章

130の(2)の問題です。 解き方が全く意味がわからないので教えて欲しいです。

(2) 点Aが原点Oに移るような平行移動により,点Rは点 (31) に移るから, (1) の点Pに一致する。 YA π この点Pを原点を中心として 4 だけ回転した点の座標は, (1) よ り (2,2√2) であるから, 求 める点Sの座標は (√2+4,2√2+2) 2 O π a P 3 4 π 4 R x (2) x軸方向に -4, y軸 方向に ―2だけ平行移動 する。 x軸方向に4,y 軸方向 に2だけ平行移動して、 元に戻す｡ P RACTICE 130③ (1) 点P(4,2√3) を,原点を中心としてだけ回転させた点Q の座標を求めよ。 (2) 点P(4,2),点A(25) を中心としてだけ回転させた点Qの座標を求めよ。

東工大数学 採点していただきたいです。 途中まで(ノートの左下)で間違えています 50点中何点もらえますか？

24 する。 辺ABを xl-x (0≦x<l) の比に内分する点Pと,辺ACをy: l-y (0≦y<1> の比に内 分する点Qをとり、線分BQ と線分 CP の交点をRとする。 このとき, RがAM に含まれるような (x,y) 全体をxy平面に図示し, その面積を求めよ。 (ただし、道 AB. 辺ACを0:1の比に内分する点とは,ともに点Aのこととする。) 2003年度 (3) △ABCにおいて, 辺ABの中点をM. 辺ACの中点をとする。 ポイント 前半は、平面ベクトルの典型問題である。 平面上のどのようなベクトルも その平面上の2つのベクトルa, a≠0. b=0, ax b) を用いて, Bb (a. B は実数) の形に表されること, そしてその表し方は1通りであることは重要な事実であ る。また、△ABCの間および内部にある点Pは, AP=αAB+ BAC (a+β≦1,420 B20) で表されることもマスターしておくべき基本事項である。 520) 不等式の表す領域の図示と面積を求めるための定積分計算である。 解法 △ABQにおいて, AQ=yAC (0≦y<1) であるか ら,実数s を用いて AR = (1-s) AB+syAC (0≦s≦1) ...... ① と表せる。 また, ACP において, AP=xAB (0≦x<1) であるから実数を用いて AR=AB+(1-1) AC (0≦t≦) ....... ② と表せる。 ABとACは1次独立 (AB AC. MEAN AB≠0. AC ±0) なので ①②より したがって. ①より AR=(1-1-4) AB+1-5 1-xy ここで -xyAC= x (1-y) 1-xy B 1-s=tx, sy=1-1 が成り立つ。 0≦x<1,0≦y<1に注意して, この2式からtを消去すると 1-1 E'S (1-x) -AB + Level B M O P _y(1-x) -AC 1-xy x(1-y) 1-xy とおくと AM= y (1-x) 9= 1-xy AM-AR AN-ACCA& AR=pAB+qAC=2pAM+2qAN となり、点Rが△AMN に含まれるためには xy- 2p+2q≦1④ が成り立つことが必要十分である。 ③を用いると, ④ ⑤ はそれぞれ y(1-x)206 1-xy x+y-2xy=-xy = 1-xy 0≦x<1,0≦y<1より. ⑤'は成り立つ。 また, 0≦x<1,0≦y<1に注意して, ④'を変形す ると よって, 0≦x<1,0≦y<1のもとで, ④’を満たす 点(x,y)をxy平面に図示すると、右図の斜線部 分(境界はすべて含む)になる。 すなわちy=1/1 23 2p20. 2q205062 [注]不等式 (x-2)(x-2/31) 2010/19 リー = x (1-y), -≥0. 1-xy 5- £² (1.-7. 3) 4 S= 9 2 ---- (10)+ §3 平面図形 129 UN + 1/23 を描く。 次に、この境界線で区切られた3つの部分の1つを選 y= の表す領域を図示するには、まず境界線 (x-2)(x-2)=1/ *3 び、その中の1つの点の座標を不等式に代入してみて、成り立てばその点を含む部分に 斜線を施し(同時に境界線をまたいだ隣の隣にも斜線を施す)。 成り立たなければ隣の 部分に斜線を施す。 正領域∫ (x,y) > 0.負領域f (x,y) <0は境界線をまたいで交互に 現れることを利用するのである。 さて 求める面積をSとすると

θに制限がない時の解についてです。 （3）ではなぜ5/3π＋nπが含まれないんでしょうか？

直す P(a, b) 1 x [2] π YA. Q(-b, a) 1 p.193 基本事項2参照) ICOS cos (--)-c COS .193 基本事項 =0 とおくと sin (2+0) = cos9 sin(+0) - sing cos (1/2 + 8) = -sin 基本例題 121 三角方程式の解法(基本) 0≦0 <2πのとき, 次の方程式を解け。 また、 0 の範囲に制限がないときの解 を求めよ。 (1) sinQ= CHART & SOLUTION 三角方程式の解法 単位円を利用 右の図のように, 角0 の動径と単位円の交点を P(x, y), 直線OP と直線 x=1の交点を T (1, m) とすると x=cos 0, y=sin0, m=tan0 1と単位円の交点 (1) 直線y= 2 (2) 直線x=- (1) 0=- -1 1/1/201 Q O 1 2 1 -2 (2) cos0=- (3) T(1,-√3) をとり、 直線OT と単位円の交点 これらをP, Q とすると, 求める 0 は動径 OP, OQ の表す角である。 と単位円の交点 1 解答 求めるのは,下下のそれぞれの図において, 動径 OP, OQの表す角である。 00 <2πにおける解は 5 π T 6' ya 0 = ²/3 (2) 0=- 1 2 1P π, YA 4/3 O (3) tan0=-√3 π (2) cos=- cos 1 x また,0の範囲に制限がないときの解は,nを整数 として (1) 0=T +2nπ, & π+2nt 6 4 2012 (2) 0=²²x+3x₂+²x+2nT (3) 0=- = ²/3π+na π tnr 02 p. 193 基本事項 3 y4 1 T-1 O ((x,y) -1 2 5 (3) 0= ²/3, ³ YA P 1 3 O T(1, m) √3 /1 x TC Q F T 199 inf. (2) の解はまとめて 0= ± ²/x+2nx としてもよい。 4 16 PRACTICE 121 0≦0<2πのとき、次の方程式を解け。 また,0の範囲に制限がないときの解を求めよ。 √√3 (1) sinθ= 2 (E) (3) tan0=√3 三角関数のグラフと応用 Y

⑵の色の選び方と⑶の色の選び方が何で違うのかと、なんでそのような求め方になるのか教えて欲しいです！！

率 _392 基本事項 並べて固 子音という。 ....★ の方針。 同様に確から 前提にあるた のでも区別し 母音 利用。 並べる。 = 180 (通り) 根元事象が 列も同じ程 でも区別し 38 組合せと確率 本例題 黄の札が4枚ずつあり、どの色の札にも1から4までの番号が1つずつ る確率を求めよ。 全部同じ色になる。 かれている。 この12枚の札から無作為に3枚取り出したとき,次のことが起 色も番号も全部異なる。 [埼玉医大 ] 率 109 EX29\ (1)~(3)の各事象が起こる場合の数α は, 次のようにして求める。 場合の総数Nは, 全12枚の札から3枚を選ぶ 組合せ 123通り 積の法則 (I) (同じ色の選び方)×(番号の取り出し方) (2) 番号が全部異なる。 (②2) 異なる3つの番号の取り出し方) (色の選び方) 同色でもよい。 (3) 異なる3つの番号の取り出し方) ( 3つの番号の色の選び方) 12枚の札から3枚の札を取り出す方法は 赤, 青, 黄のどの色が同じになるかが その色について,どの番号を取り出すかが よって 求める確率は 3C1×4C3_ 3×4 12C3 220 よって 43 札を選ぶ 「順序」にも注目して考えると 色の選び方は 31, 番号の順序は4P3 で 3C1X4C3 12C3 a N 123 通り 3C1 通り 4C3通り 3 55 3通り 取り出した3つの番号を小さい順に並べ, それに対し, 3色を順に黄赤青 対応させる,と考えると,取り出した番号1組について、色の対応黄青赤 が3P3通りある。 /p.392 基本事項 6 220 55 4C3X3P3 4X6 12C3 (3) 1 2 3 赤青 3黄 赤黄青 青 赤 黄 青黄赤 (2)どの3つの番号を取り出すかが そのおのおのに対して, 色の選び方は3通りずつある3つの番号それぞれに対 し,3つずつ色が選べる から、番号が全部異なる場合は 4C3×38通り から 3×3×3=33 4C3X33 4×27 27 よって 求める確率は 12C3 220 55 (3) どの3つの番号を取り出すかが Cg 通りあり、取り出赤,青,黄の3色に対し, した3つの番号の色の選び方が 3 P3通りあるから、色も 1 2 3 4 から3つの数 番号も全部異なる場合は 3×3P3通り よって求める確率は 397 | (1) 札を選ぶ順序にも注目 して考えてもよい｡ 下の 参考 を参照。 P通り ⑥事象と確率 を選んで対応させると 考えて, 1×4P3 通りとし てもよい｡ N = 12P3=12C3×3! a=3C1×4P3=3C1×4C3×3! となる。同様に考えて (2) a=4P3×33 (3)a=P3×3P3 2章 2 [北海学園大 ] 1組のトランプの絵札 (ジャック, クイーン, キング) 合計12枚の中から任意に4 の札を選ぶとき、次の確率を求めよ。 スペード, ハート, ダイヤ, クラブの4種類の札が選ばれる確率 ジャック, クイーン, キングの札が選ばれる確率 スペード クラブの4種類の札が選ばれ, かつジャック, ク n 409 EX 30 、