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40
・di
しい
3),
して
B-2il
であ
2
基本例題 362 乗して 6 になる複素数
2乗すると 6 になるような複素数zを求めよ。
指針 ① z=x+yi (x, y は実数)とする。
卵の名
による。
CHART iのある計算=-1に気をつけて、について整理
② 22=6i すなわち (x+y)=6iの左辺を展開し、 について整理する。
③ 前ページと同じように、次の複素数の相等条件を利用してx,yの値を求める。
AIRNSU
a+bi=c+di⇔a=c, b=d (a,b,c,d は実数)……
解答
z=x+yi (x,y は実数)とすると
z'=(x+yi)2=x2+2xy+y2i²=x²-y2+2xyi
z2=6のとき
x2-y²+2xyi=6i
x, y は実数であるから, x2-y2と2xy も実数である。
したがって
x2-y=0
①, 2xy=6
②
①から
(x+y)(x-y)=0
よって
y=±x
[1] y=xのとき, ② から
すなわち
y=x であるから
......
x2=3
x=±√3
x=√3のとき y=√3,
-√3のときy=-√3
x=-3
x=-
[2] y=-xのとき、②から
これを満たす実数 x は存在しない。
以上から
2= √3+√3i, -√3-√3i
注意② で,xy=3>0であるから,xとyは同符号である。
ゆえに, ③ において, y=-x となることはない。
ODO
COCOOL
複素数zを求めよ。
基本 34,35
をきちんと書く。
i=-1 大量
HOCSTA >>
虚部がそれぞれ等し
x+y=0 またはx-y=0
(複号同順)を用いて,次の
ように書いてもよい｡
x=± √3, y=± √3
(複号同順)
または
(x,y)=(±√3, ±√3)
(複号同順)
検討 虚数では大小関係や,正・負は考えない
虚数にも,実数と同じような大小関係があると仮定し, 例えば, i>0とする。
この両辺にを掛けると, ixi>0xi すなわち20となるが,実際にはi=-1であるから、
これは矛盾である。一方, i <0 としても同じように, i>0となって矛盾が生じる。
更に, i≠ 0 であることは明らかである。
よって, iを正の数, 0, 負の数のいずれかに分類することはできない。
したがって,正の数,負の数というときには,数は実数を意味する。
また,特に断りがない場合でも,設問で 24+1>36-2 のような不等式が与えられたら、文字 α
13
bは実数であると考えてよい。
〔類 愛媛大]
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2章
7
複素数
