白
④32
平面において,次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点の個数を求めよ。ただし, nは
xy
自然数とする。
(1)x≧0,y≧0, x+3y3n
(1)領域は,右図のように, x軸, y 軸,直線
y=
=-1/32x+nで囲まれた三角形の周および
(2) 0≤x≤n, y≥x², y≤2x²
YA
n
n-1
y=-x+n
(x=3n-3y)
内部である。
k
ここで, x+3y=3n とすると
1
x
x=3n-3y
0123
3n
ゆえに、直線 y=k(k=0, 1, ......, n) 上には,
3n-3k
(3n-3k+1) 個の格子点が並ぶ。
よって, 格子点の総数は
ゆえに
(C)
(3n-3k+1)=-3k+(3n+1) 1
k=0
k=0
k=0
k=0
n
n
n
Σk=Σk,
k=1
=-3.1/12 n(n+1)+(3n+1)(n+1)21=1(n+1)
=1/12 (n+1){-3n+2(3n+1)}
=1/12 (n+1)(n+2) (個)
初項は
したがっ
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