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基本例題 128 1次不定方程式の整数解 (2)... ax+by=c
次の方程式の整数解をすべて求めよ。
(1) 7x+6y=40 kx (2) 37x-90y=4 A
7.2²
指針ax+by=cの整数解
が第一の方針。
ない。そこで,(2)では, 次の方針による解答を考えてみよう。
(121
CHART 不定方程式の整数解
内にあわせる
1組の解 (p.g) を見つけて a(x-p)+b(y-q=0
しかし (1) は比較的見つけやすいが, (2) は簡単に見つから
aとbの最大公約数を互除法によって求め、その計算過程を逆にたどる。
・特に, 1 = ap+bg の形が導かれたら、 両辺を倍して4(cp)+b(cq)=
47100-4
[2] 係数を小さくして (本書では係数下げ と呼ぶ), 1組の解を見つけやすくする。
なお、検討として, [3] 合同式を利用する 解法も取り上げた。
解答
7(x-4) +6(y-2)=0
(1) x=4, y=2は7x+6y=40の整数解の1つである。
ゆえに、方程式は
すなわち
とは互いに素であるから, kを整数として
7(x-4)=-6(y-2)
x-4=6k, -(y-2)=7k
と表される。
よって解は x=6k+4,y=-7k+2 (kは整数)
(2) [解法] 37x-90y=4
m=37, n=90 とする。
(a)
90=37・2+16 から 16=90-37.2=n-2m
37=16･2+5 から 5=37-16・2=m-(n-2m) ・2
******
=5m-2n
解がすぐに見つからなければ
互除法 または 係数下げ
⑤⑥
16-5-3+1 5 1-16-5-3-(n-2m)-(5m-2n).3
-**--.
******
=-17m+7m
37-(-17)-90-(-7)=1
基本127 演 131,
ゆえに
○ 両辺に4を掛けて
! ①② から 37(x+68)-90(y+28) = 0.
すなわち
37(x+68)=90(y+28)
37 90 は互いに素であるから, kを整数として
x+68=90k, y+28=37k
37 (68) -90(-28) =4..... ②
と表される。
よって, 解は x=90k-68, y=37k-28 (kは整数)
7x+6y40 から
7x=2(20-3y)
よってxは2の倍数であ
る。このようにして, 方程
式を満たす整数解を見つけ
る目安を付けるとよい｡
互除法 の利用。
文字におき換えて変形。
前ページ参照。
16② を代入して整理す
16② 5 ⑥ を代入し
て整理する。
m²を37, nを0に戻す。
x=-17, y=-7 は
37x-90y=1を満たす。
