数学IIの二項定理です。17の解説よろしくお願いします。

□ 1 等式 (1+x)*(x+1)^2=(1+x)2" を用いて,次の等式を証明せよ。 □ 28 18 nC2+C12+....+nC²=2nCn (1) knCk=nn1Ck-1 (k=1,2,......, n) が成り立つことを証明せよ。 (2) (1) を用いて, 等式 C1+2nC2+3,C3+..+nn C=n2-1 を証明せよ。 ヒント - 16 11"= (10+1) "1 INC

数学IIの二項定理です。17と18の解説お願いします。どちらか１つでも構いません。

□ 1 等式 (1+x)*(x+1)^2=(1+x)2" を用いて,次の等式を証明せよ。 □ 28 18 nC2+C12+....+nC²=2nCn (1) knCk=nn1Ck-1 (k=1,2,......, n) が成り立つことを証明せよ。 (2) (1) を用いて, 等式 C1+2nC2+3,C3+..+nn C=n2-1 を証明せよ。 ヒント - 16 11"= (10+1) "1 INC

どなたか分かりやすく説明してください🙏 青チャの二項定理を利用して等式を証明する問題です！練習5の⑵⑶が解説をみても何をしてるのかよくわからないです！

練習 次の等式が成り立つことを証明せよ。 ②5 nC1 C2 (1) nCo- ·+· 2 22 | ² C² = 1/2/20 2" 2² + (−1)n nСn (2) n が奇数のとき nCo+nC2+ ・+nCn-1=nC1+nC3+. •+nCn=2"-1 (3)nが偶数のとき Co+nC2+......+nCn=nC1+nCg+ +nCn-1=27-1 HINT (1+x)" の展開式を利用して証明する。 (2)(3) 1+x) の展開式において, x=1 を代入した等式とx=-1 を代入した等式を組み合 わせる。

この問題全部分からないので解き方と答えを教えてもらいたいです！

4.A君は8月中に20日間ボランティアすることにした. □□☆・雨が降った時のみ行う← □□☆･ボランティア代は出ないが代わりにお弁当がもらえる □□☆A君はずる休みしない 8月の降水確率を0.3(=30[%])とし,この降水確率が二項分布に従うと仮定したとき, A君のボランティアに関する以下の問いに答えよ.← (1) A君は何日ボランティアができると期待できるか (2) A君がボランティアをするのが6日以下である確率 せ (3) A君がボランティアをするのが8日以上である確率 ← ← (4) A君がボランティアをするのが4日以上9日以下である確率

青チャの数IIの例題7についてです。 解法については理解できています！ ただ黄色の部分のq=0とq>=1の時で場合分けしている意図がわかりません。 余りの数が変わってしまう場合でもあるのですか？

00000 重要 例題 7 整数の問題への二項定理の利用 kを自然数とする。 2" を7で割った余りが4であるとき。kを3で割った余りに 2であることを示せ。 指針 271+4 (1は自然数) とおいてもうまくいかない。ここでは, kが 3g, 3g+1, 3g+2 ←3で割った余りが 0.1.2 (gはkを3で割ったときの商) のいずれかで表されることに注目し,k=3g+2の場合だ け2を7で割った余りがとなることを示す方針で進める。 例えば,k=3gのときは, 2=23=8° であり, 8°= (7+1)* として二項定理を利用すると、 $2 2" を7で割ったときの余りを求めることができる。 解答 ▲3で割った余りは0か1か んを3で割った商g とすると, kは 3g, 3g+1,3g+2 のいずれかで表される。 2である。 k= 3, 6, 9, [1] k=3gのとき, g≧1 であるから 2=239=(23)°=8°=(7+1)。 <二項定理 =Co79+,C179-1 + +9C9-17+,Cq は整数で, mn =7(C79-1+,C,79-2+......+oCo-t)+1 2"=7×(整数)+1の形。 よって2を7で割った余りは1である。 <k=1, 4,7, ****** [2] =3g+1のとき, g≧0であり ■二項定理を適用する式の指 2"=2=7.0+2 g = 0 すなわちk=1のとき g≧1 のとき 2=239+1=2・239=2.8°= 2(7+1)。 =7•2(C079¹+C₁79-2++gCq-1)+2 (*) 数は自然数でなければなら ないから, q=0と1で 分けて考える。 (*)は [1] の式を利用して導いている。 k=2, 5, 8, よって2を7で割った余りは2である。 [3] k=3g+2のとき, g≧0であり 2"=22=4=7.0 +4 g=0 すなわちん=2のとき g≧1 のとき 2=239+2=22・239=4•8°=4(7+1)。 =7.4(Co7ョート+,C179-2+ +9C9-1)+4 [1] の式を利用。 よって,2を7で割った余りは4である。 [1]~[3] から, 2を7で割った余りが 4 であるのは,k=3g+2のときだけである。 したがって、 2を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは2である。 20 (2) (3) (2 0 C

この問題の最後の部分で、なぜ項の係数を求めるために足し算をするのかが分かりません。 教えてください🙇‍♂️🙇‍♂️ お願いします🙇‍♂️🙇‍♂️🙇‍♂️

展開式の係数(3) (多項定理の利用) 0000 (1+x+x2)の展開式における,xの項の係数を求めよ。 基本6 CHART ⓒ SOLUTION 多項定理を利用して、(1+x+x²)の展開式の一般項を Ax” の形で表すと 7! -X9+2r となる。 p!q!r! ここで,g,rは整数で ≧0, g≧0, r≧0, p+g+r=7. xの項であるから g+2r=3 そこで,①,②から, p, g, r の値を求める。 p,g,rの文字3つに対して,等式がp+g+r=7,g+2r=3の2つであるが, 0以上の整数という条件から,か,g,rの値が求められる。・・・・・・ 解答 (1+x+x2) の展開式の一般項は 7! •1²• x²(x²)¹=- 7! ←1.x(x2)=xx2r p!q!r! -X9+2r p!q!r!* =x8+2r p,g,r は整数でp≧0,g≧0, r≧0, p+g+r=7 p>0, q>0, r>0 xの項は g+2r= 3 すなわち g=3-2 のときである。 ン違いしないように。 g≧0 から 3-2≧0 よって r=0,1 ◆r = 3-9は0以上 ■q=3-2r, p=7-g-rから r=0 のとき g = 3, p=4 -J の整数から, g=1,3と してもよい。 r=1のとき g=1, p=5 すなわち (p, q, r)=(4, 3, 0), (5, 1, 1) ◆x+2x3 を満たす α, ゆえに,xの項の係数は rは2組ある。 7! 7! 7.6.5 4!3!0! 5!1!1! 3･2･1 +7・6=35+42=77 <<-0!=1 別解 (1+x+x2)={(1+x)+x2}の一般項は ◆二項定理を用いて解く と、 左のようになる。 7C,(1+x)7-*(x2)* であるから,xの項は,r=0, 1 のとき に現れて,また, これ以外はない。 P4 r=0 のとき 7Co(1+x)(x²)⁰=7Co(1+x)² ·· (1+x) の展開式において,xの項の係数は C3 よって, ① の展開式において,xの項の係数は C07C3 r=1のとき ,C1(1+x)(x2)=7C1x2(1+x)* (1+x)のxの項に Co をかけたものが ① の x の項。 ・② (1+x) の展開式において,xの項の係数は 6C1 (1+x)のxの項に 7Cx2をかけたものが よって、②の展開式において,xの項の係数は C16C1 よって, 求める x の項の係数は ②のxの項。 7C07C3+7C16C1=1・35+7・6=77 章 1 3次式の展開と因数分解, 二項定理

二項定理でn<0の時のx^n=nx^n－1は証明できますか？ できるならやり方教えてほしいです

数IIの二項定理の問題です。 この分子の6の7乗を2の7乗×3の7乗に出来るのは何故ですか？公式ですか…？🥲 教えてくださいよろしくお願いします🙇🏻

ゆえに, 1/18 の項の係数は 28 (√6)² 10 Cg. - = 10C2 16 (√6)^ 28 67 = 10.9 2･1 10 243 28 10 ● = = 35 27 x 37

この問題の「また」以降の問題の解き方がよくわかりません、。教えていただきたいです🙇🏻‍♀️

4 (a-26) の展開式で, a b の項の係数は 26 また, (22) の展開式で、の項の係数は x Ost α 2b 4 の項の係数は 定数項は 243 である。 である。

これの右枠の下の方にある 偶数奇数の場合分けを利用と書いてあるところなんですが、そらを利用者することで、何ができるようになるのかわかりません。 教えていただけると助かります。よろしくお願いします。

[類 一橋大〕 練習 ④7 正の整数nでn" +1が3で割り切れるものをすべて求めよ。 nを3で割ったときの商を」 とすると, nは 3g, 3g+1,3g+2 のいずれかで表される。 ←3で割った余りは0か 1か2である。 [1] n=3gのとき, g≧1 であり n+1=(3g)+1=3(339-1・Q39)+1 ←n+1=3×(整数) +1 3g-1 339-1.g39 は整数である。 2,3g3であるから, よって, n”+1は3で割り切れない。 [2] n=3g+1のとき, g≧0であり n"+1 =(3g+1)39+1+1 ←二項定理を利用。 =3g+1Co(3g)39+1+3g+1C1 (3g)+..+35+1C3g 3g+3g+1C39+1+1 の各項は = 3× (整数) +2 3× 整数)の形。 よって, n" +1は3で割り切れない。 [3] n=3g+2のとき, g≧0であり n"+1 =(3g+2)39+2+1 ←二項定理を利用。 =39+2 Co(39)39+2_ 2+39+2C1 (3g)39+1.2+ ････ +39+2 C3g+1 3g・23g+1 ← の各項は +3g+2C3g+2.239+2+1 3× (整数)の形。 =3X (整数) +239+2+1 ここで +2+1 =(3-1)39+2+1 ←もう一度二項定理。 =39+2Co339+2+3+2C1339 +1(-1)+ ・+3g+2C3g+1・3(-1)39+1 ← の各項は +3g+2C3g+2(-1)39+2+1 3× 整数) の形。 =3×(整数)+(-1)39+2+1 (2) (-1) 39+2+1の値について調べると ∫(-1) 個数=1 ← −1)**=-1 を利用 (i) g が偶数,すなわちg=2k(kは0以上の整数)のとき (−1)39+2+1=(−1)6k+2+1=1+1=2 するために,偶奇に分け る。 このとき, ①,②から, n”+1は3で割り切れない。 (ii) gが奇数,すなわちg=2k+1 (kは0以上の整数)のと き (-1)39+2+1=(−1)6k+5+1=-1+1=0 ←6k+5は奇数。 このとき, ①, ② から,n" +1は3で割り切れる。 [1]~[3] から " +1が3で割り切れるのは, n=3(2k+1)+2=6k+5 (kは0以上の整数)のときである。 ← [3] (ii) のときのみ。