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重要 例題 7 整数の問題への二項定理の利用
kを自然数とする。 2" を7で割った余りが4であるとき。kを3で割った余りに
2であることを示せ。
指針 271+4 (1は自然数) とおいてもうまくいかない。ここでは,
kが 3g, 3g+1, 3g+2
←3で割った余りが 0.1.2
(gはkを3で割ったときの商) のいずれかで表されることに注目し,k=3g+2の場合だ
け2を7で割った余りがとなることを示す方針で進める。
例えば,k=3gのときは, 2=23=8° であり, 8°= (7+1)* として二項定理を利用すると、
$2
2" を7で割ったときの余りを求めることができる。
解答
▲3で割った余りは0か1か
んを3で割った商g とすると, kは 3g, 3g+1,3g+2
のいずれかで表される。
2である。
k= 3, 6, 9,
[1] k=3gのとき, g≧1 であるから
2=239=(23)°=8°=(7+1)。
<二項定理
=Co79+,C179-1 + +9C9-17+,Cq
は整数で,
mn
=7(C79-1+,C,79-2+......+oCo-t)+1
2"=7×(整数)+1の形。
よって2を7で割った余りは1である。
<k=1, 4,7,
******
[2] =3g+1のとき, g≧0であり
■二項定理を適用する式の指
2"=2=7.0+2
g = 0 すなわちk=1のとき
g≧1 のとき 2=239+1=2・239=2.8°= 2(7+1)。
=7•2(C079¹+C₁79-2++gCq-1)+2 (*)
数は自然数でなければなら
ないから, q=0と1で
分けて考える。 (*)は [1]
の式を利用して導いている。
k=2, 5, 8,
よって2を7で割った余りは2である。
[3] k=3g+2のとき, g≧0であり
2"=22=4=7.0 +4
g=0 すなわちん=2のとき
g≧1 のとき 2=239+2=22・239=4•8°=4(7+1)。
=7.4(Co7ョート+,C179-2+ +9C9-1)+4
[1] の式を利用。
よって,2を7で割った余りは4である。
[1]~[3] から, 2を7で割った余りが 4 であるのは,k=3g+2のときだけである。
したがって、 2を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは2である。
20
(2)
(3)
(2
0
C
『ゼロで割ることになってしまう』ということでしょうか？