基本 例題 135
円に内接する四角形の面積 (2)
217
00000
円に内接する四角形ABCD において, AB=8, BC = 10,CD=DA=3であ
る。このとき、四角形ABCD の面積Sを求めよ。
基本134
CHART & SOLUTION
円に内接する四角形
対角線で2つの三角形に分割する
2
四角形の対角の和は180°
和
180°
まず図をかいての方針に従い, 対角線 BD での分割を考える。
②からC=180°-A であることに注意して、2つの三角形でそれぞれ余弦定理を使って
BD2を2通りに表し, cos A を求める。 COSA の値がわかれば sin A の値も求められる。
解答
四角形ABCD は円に内接するから
C=180°-A
△ABD において, 余弦定理により
BD2=82+32-2・8・3cos A
=73-48 cos A
①
△BCD において, 余弦定理により
BD2=102+32-2・10・3cos (180°-A)
②
4章
A
3
8
D
← A+C=180°
15
B
10
73-48cosA=109+60cos A
530
=109+60cos A
①②から
よって
108cosA=-36
すなわち
cos A=-
=_1
3
sinA > 0 であるから sinA = √1-(-³½³)² =²
2
2√2
また
よって
3
sinC=sin(180°-4)=sinArc(角度に注目する
S=△ABD+ △BCD
1/28・3sinA+/12/ ・10・3sin C
・8・3sin A +12.10
Am
=27sinA=27・
cos(180°-0)=-cos
BD2 を消去した形。
Aを求めることはでき
ないが, cos A を求める
ことはできる。
sin (180°-0)=sin0
こになる
↓
2√2
(180°-A)=C
=18√2
3
73
linf.
対角線 AC で四角形を分割して,上と同様にすると cos B=
が得られ,
89
sin B = √1-(73)²-
36√2
===
となり,計算が煩雑になる。
89
89
三角形の面積、空間図形への応用