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43つの集合の要素の個数 (1)
00000
|100人のうち, A市, B市, C 市に行ったことのある人の集合を,それぞれA
B, C で表し, 集合Aの要素の個数を n (A) で表すと, 次の通りであった。
n(A)=50,
n(B∩C)=10,
n(B)=13,
(C)=30,n (ANC)=9.
n(ABC)=28
n(A∩BNC) = 3,
(1) A市とB市に行ったことのある人は何人か。
(2) A市だけに行ったことのある人は何人か。
指針
/p.333 基本事項
集合の問題 図をかく 集合が3つになるが, 2つの集合の場合と基本は同じ
まず、解答の図のように、3つの集合の図をかき、わかっている人数を書き込む
また、3つの集合の場合、 個数定理は次のようになる。
n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(ANB)-n(BNC)-n(CNA)+n(ANBg
全体集合をひとすると
n(U)=100
-U(100)-
ANBOC
(28) ANBNC
重要
分母を
1
810
,
の個数
指針
A(50)
解答
また
n(AUBUC)
=n(U) -n (A∩BNC)
=100-28=72
図から,ド・モルガンの
法則
B (13)
C(30)
(1) A市とB市に行ったことの
ある人の集合は A∩Bである。
A∩BNC=AUBUC
が成り立つことがわかる
-n(BNC)-n(CNA)+n(ANBNC)
3つの集合の個数定理
(2) -U-
n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C) -n (A∩B)
に代入すると 72=50+13+30-n (A∩B)-10-9 +3
したがって n(A∩B)=5
よって, A市とB市に行ったことのある人は 5人
(2)A 市だけに行ったことのある人の集合は ANBOC
である。
ゆえに(A∩BNC)
=n(AUBUC)-n(BUC)
=(AUBUC)-{n(B)+n(C)-n(B∩C)}
=72-(13+30-10)=39
よって, A市だけに行ったことのある人は
39 人
別解 (2) 求める人数は
n(A)-n(ANB)
-n(ANC)
+n(A∩BNC)
=50-5-9+3=39
よって 39 人
ある高校の生徒 140人を対象に、国語、数学、英語の3科目のそれぞれについ
4 得意か得意でないかを調査した
得意な
解答
