本例題95 分数の数列の和
1
1
の初項から第n頂までの和を求めよ。
数列
2-5' 5-8' 8·11*
483
OLUTION
CHART
分数の数列の和 部分分数に分けて途中を消す
分母に着目すると, 第々項の分母は (3k-1)(3k+2)
このような形の分数は部分分数に分けて差の形にすることができる。
重要 100
1
3k-1
1
を計算すると
3
(3k-1)(3k+2)
3k+2
三
1
(3k-1)(3k+2)
1
3k+2
よって
3k-1
この式に k=1, 2, ……, n を代入して辺々を加えると, 隣り合う項が消える。
解答
1
(3k-1)(3k+2)
1.(3k+2)-(3k-1)
(3k-1)(3k+2)
inf.次の式の変形はよく
利用される。
aキb のとき
この数列の第を項は
11
D
3
(3k-1)(3k+2)
1
1
(k+a)(k+b)
3(3k-1
3k+2)
1
b-a (k+a)(k+b)
この式に k=1, 2,
1
……, nを代入して, 辺々を加えると
1/1
b-a\k+a k+b.
1
1
1
1
2-5
5-8
8·11
(3n-1)(3n+2)
合部分分数に分ける。
1/1
3(8
1/1
1
5
3(5
8
11
1/ 1
3(3n-1 3n+2,
*途中の
ニ
8
11
5'8
3n-1
3n+2
3n-1が消える。
1 3n+2-2
32(3n+2)
1
n
ミ
2(3n+2)