Question

かすてら

線を引いてあるところが何故こうなるかが分かりません。

本例題95 分数の数列の和
1
1
の初項から第n頂までの和を求めよ。
数列
2-5' 5-8' 8·11*
483
OLUTION
CHART
分数の数列の和 部分分数に分けて途中を消す
分母に着目すると, 第々項の分母は (3k-1)(3k+2)
このような形の分数は部分分数に分けて差の形にすることができる。
重要 100
1
3k-1
1
を計算すると
3
(3k-1)(3k+2)
3k+2
三
1
(3k-1)(3k+2)
1
3k+2
よって
3k-1
この式に k=1, 2, ……, n を代入して辺々を加えると, 隣り合う項が消える。
解答
1
(3k-1)(3k+2)
1.(3k+2)-(3k-1)
(3k-1)(3k+2)
inf.次の式の変形はよく
利用される。
aキb のとき
この数列の第を項は
11
D
3
(3k-1)(3k+2)
1
1
(k+a)(k+b)
3(3k-1
3k+2)
1
b-a (k+a)(k+b)
この式に k=1, 2,
1
……, nを代入して, 辺々を加えると
1/1
b-a\k+a k+b.
1
1
1
1
2-5
5-8
8·11
(3n-1)(3n+2)
合部分分数に分ける。
1/1
3(8
1/1
1
5
3(5
8
11
1/ 1
3(3n-1 3n+2,
*途中の
ニ
8
11
5'8
3n-1
3n+2
3n-1が消える。
1 3n+2-2
32(3n+2)
1
n
ミ
2(3n+2)

Answer 1

ひま

前の使い回しだけど、画像のを反対からやってるだけ
字きたない

かすてら

回答ありがとうございます。
3x -1と3x +2は何を表しているのでしょうか。

ひま

解答の1行目わかる？

かすてら

そこが分からないです！

ひま

問題文の式をみると、分母がそういう2つの数列の積になってるよねって話
わかんなかったら問題文の続きを自分でかいてみて

加藤

失礼します。

与えられている数列を見ると、分子は1で一定であり、
分母は掛けられる数と掛ける数の両方が3ずつ増えている
(3が掛けられている)ことが分かるので、3k という関係があることが分かります。

次に、3k に k=1,2,3,… を代入していくと、
3・3 , 6・6 , 9・9 ,… (分母のみ表示)
となります。

分母の掛けられる数と掛ける数のそれぞれにどのような
計算をすると与えられた数列の形になるか考えると、
写真の下線部の分母の式 (3k-1)(3k+2) が得られます。

かすてら

回答ありがとうございます。
3kは分かったのですが、なぜ−1と +2になるのかがわかりません。

加藤

3k-1 を k=1,2,3 で計算してみると
3×1-1=2
3×2-1=5
3×3-1=8
となるので,分母の式の左の数の増え方と一致します.

3k+2 についても同じように計算すると
3×1+2=5
3×2+2=8
3×3+2=11
となり,分母の式の右の数の増え方と一致します.

よって,分母の式は(3k-1)×(3k+2)となります.

かすてら

分かりました！ありがとうございました(^^)