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基本 例題 124 三角形の最大角
B/1
00000
△ABCにおいて,次が成り立つとき、この三角形の最も大きい角の大きさを
求めよ。
a b C
(1) 3-188=1X
7 X (2) sin A: sin B: sin C=1: √2: √5
p.194 基本事項 基本121
CHART & SOLUTION
基本 例
△ABC
(1) 辺
(2) 4
CHA
三角形の辺と角の大小関係
a <b⇔A<B 最大辺の対角が最大角
比例式はとおき, a, b, c をk で表して余弦定理を利用し,
角の大きさを求める。
小
+
三角
辺
B
(1) a>b>c であるから, 最大辺はBC で最大角は∠Aである。
C
ここ!
a b C
(1) 13-18-1 の値をk (k>0) とおくと
7
a b C
Ninf.
の形式
(1
x y Z
a=13k, b=8k,c=7k
7k
8k
を比例式という。なぜこうなる?
辺BCが最大の辺であるから,その
対角の ∠A が最大の角である。
この比の関係を
整理
B
13k
C
a:b:c=x:y:z
共通
余弦定理により
と書くこともあり,このと
(2)辺
+8
きのα: bc を
cos A=
(8k)2+(7k)2-(13k)2
2.8k-7k
-56k²
1
a,b,cの連比という。
す
2.8.7k2
2
よって, 最大の角の大きさは A=120°
DOS
[1]
7
(2) 正弦定理により
a: b:c=sin A: sin B: sin C
よって a:b:c=1:√2:√5
ゆえに,k(k> 0) を用いて
inf. 正弦定理から
A
sinA=-
a
2R'
sin B=-
2R'
√5k
[2]
C
√2k
|sinC=
2R
Bk C
したがって
a=k,b=√2k,c=√5k
と表されるから,辺AB が最大の辺で, その対角の∠Cが
最大の角である。
sin A sin B: sin C
a
b
2R 2R 2R
C
:
余弦定理により
=a:b:c
cos C=-
k2+√2k2-(√5k)2-2k
2.k.√2k
1
==
2√2k2 √2
したがって, 最大の角の大きさは
C=135°
PRACTICE 124
△ABCにおいて, sin A: sin B: sinC=5:16:19 のとき,この三角形の最も大き
魚の大きさを求めよ。
Po
P
