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微積IX
三角不等式
a, b∈ R とするとき,
微分積分学IX 問題 1
la + 6| ≦ |a| + |6|
ただし, 等号はaとbが同符号のときのみ, 成立する.
1 1,2,..., In を n個の実数とするとき, 次の不等式を示せ .
(1) |x1 - x2|≦|z1|+|z2|
(2) ||1|-|2||≦|x1+2|
(3) ||1|-|z2||≦|z1-æ2|
(4) x1 + x2 +..+xn|≦|21|+|2| +….. +|xn|
(5) 1≦k < n ならば,
||1+...+k|-|k+1+..+xn||≦1+x2+ ... +xn|
(6) max{x,y} = (x + y + |x − y\),
min{x,y} = 2(x+y-|x-yl)
Schwarz の不等式
a, b∈ R とするとき.
|ab + cd| ≤ √a² + c² √√√b²+d²
ただし, 等号は a:b=c:dのときのみ, 成立する.
2 2n個の実数 1,2,..., In と y1,y2,..., yn に対して,次の不等式を示せ .
(1) 1≦x1|
(2) |x1Y1+x2Y2| ≤ √√x² + x² √√y² + y²
(3) | 191 + x292 + ... + Inyn|
≤√√√√x² + x² + ··· + x² √√y² + y² + · · ·
V
+ y²/
Hint: 次の不等式はすべての実数tについて, 成り立つ.
(tx₁ + y₁)² + (tx2 + y2)² + ... + (tän + Yn)² ≥ 0
この不等式の左辺を展開し, 整理すると, tについての2次式
(x² + x² + + x² )t² + 2(x1Y₁+I2Y2+...+ïnYn )t + y² + y² + + y₂
がすべての実数tについて, 0以上ということがわかる. そのための
必要十分条件を調べよ.
1
(1) はa=r1, b=-m2 とおく.
(2)はa=π1+r2,b=-x2 とおくと,
|1|-|22||1+r2 をうる.
(3) は (2) , r2 をπ2 とおきかえる.
(4) は三角不等式を繰り返し用いる.
(5) は (2) を用いる.
(2) は右辺の二乗−左辺の二乗≧0を示す
(3) は (2) 数学的帰納法により, 示す.
または, Hint を参照せよ.
