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基本 例 88 線対称の点、直線
直線x+2y-30 を!とする。 次のものを求めよ。
(1) 直線lに関して 点P(0, -2) と対称な点Qの座標
(2) 直線lに関して, 直線 m:3x-y-2=0 と対称な直線nの方程式
p.141 基本事項 重要 89 基本111
PQl
重要 例
xy 平面」
とき, A
指針
(1) 直線 l に関して、点Pと点Qが対称
(2) 直線に関して, 直線と直線nが対称
であるとき 次の2つの場合が考えられる。
① 3 直線が平行 (m/l/n)。
②2 3直線l,m, nが1点で交わる。
本間は, 2 の場合である。 右の図のように,
2直線lの交点をRとし, Rと異なる
m
線分 PQ の中点が上にある
指針
2
m
L
e
P
n
R
直線上の点Pの, 直線 l に関する対称点をQ とすると, 直線 QR が直線となる。
(1)点Qの座標を (p, g) とする。
解答
直線PQ は l に垂直であるから
g+2.
Q(p,q)
■ 直線 l の方程式から
解答
042(-1/2)--1
3
ゆえに
2p-q-2=0
①
2
線分 PQ の中点 (1/3.222) は
g-2
0
3
x
直線 l 上にあるから
25-20 P
2+2.9-2-3-0 384
p+2g-10=0
②する
50=VD-z
OSH
2
ゆえに
14
18
① ② を解いて
カニ
5,g=
よって
Q
14 18で
5
5
(2)l, m の方程式を連立して解くと
x=1,y=1
ゆえに 2直線 l m の交点R の座標は (1,1)
また、点Pの座標を直線の方程式に代入すると
3・0-(-2)-2=0 となるから、点Pは直線上にある。
よって、直線n は, 2点 Q R を通るから,その方程式は
(1-1)(x-1)-(1-1)(x-1)=0
1 3
y=-x+
02* 2
131 の検討の公式を
利用すると,点Pを通り
lに垂直な直線の方程
は
2(x-0)-(y+2)=0
点 Qはこの直線上にあ
るから
2p-q-2=0
とすることもできる。
y m n/
(1.1)
R
3
2
0
3
P-2
1
7
(x2,ya
2点(x1,yi),
を通る直線の方程式は
(y2-y1)(x-x1)
整理して 13x-9y-4=0
(x-x) (y-y)=0
)+46 +20
練習 点P(1,2), 直線l:3x+4y-15=0, m:x+2y-5=0がある。
② 88 (1) 直線 l に関して, 点P と対称な点 Qの座標を求めよ。
(2)直線lに関して,直線と対称な直線の方程式を求めよ。
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