重要例題
26 命題⇒gの否定
次の命題の否定を述べよ。
(1)xが実数のとき,x21ならばx≠1である。
(2) x, yが実数のとき, x+y>2ならばx>1 または y>1である。
(3) すべての正の数xに対してx+a>0ならば, a≧0 である。
指針 例えば, (1) は
x21 を満たす すべての実数xについて, x=1である
ということを意味するから,「すべて」 を 「ある」に替えて,結論を否定すればよい。
一般に,命題⇒ gの否定は
であってgでないものがある
①
である。したがって,(1)の否定は,解答のように述べることができる。
(3)は「すべて」とあるが, 仮定も結論もαに関する条件であって
すべての正の数xに対してx+a>0を満たす すべてのαについて, a≧0 である
ということを意味しているから, その否定を, 次のようにしては誤りで
ある。
「ある正の数xに対してx+α>0 ならば, a<0である」
コンマ 「,」に注意して, 仮定と結論をはっきりつかみ, ①に当てはめて
考える。
解答 (1)x2>1であってx=1である実数xがある。
(2)x+y>2 であってx≦1 かつ≦1である実数x, yが「かつ」と「または」が入
ある
(3) 「すべての正の数xに対してx+α>0」 を 「a≧0」
れ替わる。
をg とする。
求める否定は
であって」でないものがある」 で
「すべての正の数xに対してx+α>0であって,
α < 0 となることがある。」
gの否定とは違うことに注意が必要である。
の否定は、次のことを意味している。
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