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6
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Step Up 396
末
第6章 微分法の応用
(1)f'(x) =2me" sin(xx) +2eπCOS (πx)
=2ne™x{sin(x)+cos(x)}
*sin(x++)
=2√2 resinx+
-1<x<1 £9,-*<**+*<z
したがって、f'(x) = 0 とすると,
x+4=0.
π
1
より。 x=- 4'4
f(x) の増減表は次のようになる。
x
-1...
.....
1
4
0
+
0
f'(x)
f(x)
よって
大値 ed(x=22)
極小値 -√/2e-f(x=-1/2)
(2) f'(x)=1e-x+(x+1) (−2ax)e-ax2
=(-2ax2-2ax+1)e-axs
f'(x) = 0 とすると, e-x2 = 0 より
2ax²-2ax+1=0
2ax2+2ax-1=0 ...... ①
f(x) が極値をもつための条件は、 ①が解をもち, その
解の前後で ① の左辺の符号が変化することである.
a=0 のとき, -1=0 となり不適
したがって, a=0
| 積の微分
A
(e**)'=e** (xx)'= nex
{sin(x)}'=cos(x)(x)
三角関数の合成
COS(x)
sin(x+4)=0
-√2e-
積の微分
1
<f'(x)=0 の両辺を e-ax で
割る.
第6章 微分法の応用
映画
397 Step Up
1 <x<1/2で異なる2つの実数解をもち、その直後で(x)の
考え方> (1) f'(x) =0 が
符号が変わるようなαの値の範囲を考える.
の値の範囲を求める.
(2) f'(x)=0 が 0<x<πで解をもち, その前後でf'(x)の符号が変わるような
(1) f(x)=2cos2x-asinx
=2(1-2sin'x) -asinx
=-4sin'x-asinx+2
f'(x) =0 とすると,
より,
-4sin x-asinx+2=0
4sinx+asinx-2=0 ...... ①
f(x) が極大値と極小値をもつための条件は,①が
一覧<x<
に異なる2つの実数解をもち,その解の
前後で①の左辺の符号がそれぞれ正から負,負から正に
変化することである.
sinx=t とおくと,
であり,①は,
4t2+at-2=0
<x<1のとき,-1<t<1
2
<x<1においてsinxは単調増加であるから
②1<<1 に異なる2つの実数解をもつとき、
f(x) が極大値と極小値をもつ.
g(t)=4t+at-2 とおくと, g(0)=-2<0 より,
である.
g(-1)>0 かつ g (1) > 0
g(-1)=4-a-2>0より,
g(1)=4+α-2>0より,
a<2
a>-2
2倍角の公式
cos20=1-2sin'
では調査
-1 \0
6
であるから, f(x) が極値をもつための条件は, xについ
よって,
-2<a<2
ての2次方程式 ①が異なる2つの実数解をもつことであ
る.
f'(x)≧0
重解をもつときは,
または f'(x) 0 となり極値
をもたない.
(2) f(x)==sinx•sinx−(a+cosx)cost
sin'x
sin'x
①の判別式をDとすると,0
すなわち, a²+2a>0
a<-2,0<a
よって, 求めるαの値の範囲は, a<-2, 0<a t
14
(1) 関数f(x) =sin2x+acosx (-2<x<2) が極大値と極小値をもつように定数a
の値の範囲を定めよ.
(2)関数f(x)=+COSX (0<x<z) が極値をもつように定数a(a≠0) の値の範囲を
sinx
定め,そのときの極値を求めよ.
-sin'x-acosx-cos' x
acosx+1
sinx
f'(x)=0 とすると, acosx+1=0 ...... ①
f(x) が極値をもつための条件は,① が 0<x<πに
解をもち,その前後で ① の左辺の符号が変化することで
ある.
COSx=t とおくと, 0<x<πのとき, -1<t<1で
あり,① は,
at+1=0 ・・・②
0<x<πにおいて、 COS-xは単調減少であるから ②
が1<t<1に解をもつとき,f(x)が極値をもつ.
α≠0 より t=--
(i) a>0 のとき
1
a
-1<--<0であるから,
a
-2
商の微分
(分母)=sin'x>0より,分~
子についてだけ考えればよい.
a>1
<a>0より, -a <-1
a>1
