次のように定められた数列{an}の一般項について考えてみよう。
3項間の漸化式 an+2 = pan+itqam
発展)
= 2, a2 = 3, an+2 = 5am+1-6a,
…0 (n=D 1, 2, 3, …)
このとき,定数 a,Bを用いて① を
dn+2-@ln+1 -Blan+1- aa,)
の形に変形できると,数列 {an+1- aam} の一般項を求めることができる。
2を整理すると
(α+ B)an+1-aBam
An+2 ミ
0と3を比較して
α+B=5, aB =6
であればよい。
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このとき,a, Bは2次方程式 x-5x+6=0 の解である。
この2次方程式の解 x= 2, 3 を用いて, ① は
a= 2, B=3 のとき
a= 3, B=2 のとき
と変形できる。
an+2-2an+1 =3(an+1-2am)
an+2-3am+1 =2(an+1-3am)
15 より,数列 {am+1-2am}は公比3の等比数列であるから
-2am = 3"-1 (a2-2a)
= 3"-1 (3-2·2) = -3"-1
2n+1-
すなわち
an+1-2a, = -3"-1
6より、列{am+1 -3a,}は公比2の等比数列であるから
『n+1-3a, = 2"-1 (a2-3al)
= 2"-1(3-3·2) = -3·2"-1
すなわち
an+1-3a, = -3.2"-1
6-のより
an =3.2"-1-3"-1
問1
次のように定められた数列 {an} の一一般項を求めよ。
" a; = 1, a。= 3, an+2 = 3an+1-2an (n= 1, 2, 3,.…)
(n= 1, 2, 3, )
(2) a= 2, az = 1, am+2 = an+1+6am
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1章|3節|漸化式と数学的帰納法
