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要
96 複素数の極形式 (2)
偏角の範囲を考える
00000
素数を極形式で表せ。 ただし, 偏角0 は 0≦02πとする。
-cosatisina (0<<
(2) sina+icosa (0≦x<2
基本 95
形式で表されているように同じの形ではないから極形
式ではない。式の形に応じて 三角関数の公式を利用し、 極形式の形にする。
(1) 実部の符号 - を + にする必要があるから, cos (π-0)=-cos0 を利用。 更に
1 建部の偏角を実部の偏角に合わせるために, sin(x-0)=sin0 を利用する。
(2) 実部の sin を cos に 虚部の cos を sin にする必要があるから,
cos(0)=sine, sin(1-0)= =coso を利用する。
また,本間では偏角 0 の範囲に指定があり、 0≦0 < 2 を満たさなければならないこと
注意 特に(2)では,αの値によって場合分けが必要となる。
CHART
(1) 絶対値は
また
極形式 (cos+isin) の形 三角関数の公式を利用
√(-cosa)+(sinα)2=1
cosatisina=cos(π-α)+isin(π-α)
cos(7-0)=-cos
sin(π-0)=sin
<a<xより、0<x<πであるから,①は求める極偏角の条件を満たすかど
形式である。
(2) 絶対値は
また
ここで
π
√(sina)+(cosa)=1
うか確認する。
sina+icos a=cos(-a)+isin(-a) cos(-)-sine
2
sin(-)-cos
≦a≦のとき,Osusであるから、求めα<2mから
s(-a)+isin(-a)
0
373
X
形式は
ゆえに, αの値の範囲に
sina+icosa=COS
2
2
よって場合分け。
π
3
<<2のとき
>2-
-a<0
<<2のとき、偏
2
2
各辺に2mを加えると,120
<2であり
角が0以上 2 未満の範
囲に含まれていないから、
偏角に2を加えて調整
する。
3章
1 複素数の形式と乗法、除法
cos(-a)= cos(-a).
COS
2
sin(-a)-sin(-a)
よって、求める極形式は
sina+icosa=cos|
(-a)+isin (-a)
なお
COS (+2nπ)=COS
sin(+2nz)=sin
[n は整数]
■ 次の複素数を極形式で表せ。 ただし, 偏角 0 は 002 とする。
(1) -cosa-isina (0<<л)
(2) sina-icos a (0≤a<2π)
