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演習 例題 225 不等式が常に成り立つ条件(微分利用)
00000
aは定数とする。 x≧0 において,常に不等式 x-3ax²+4a> 0 が成り立つよう
にαの値の範囲を定めよ。
基本220
指針f(x)=x-3ax2+4aとして,
PLANS
ンの検討
の例題29
解答
f(x)=x²-3ax2+4a とすると
=0 とすると
f'(x)=0 とすると
x=0, 2a
求める条件は,次のことを満たすαの値の範囲である。
「x≧0 におけるf(x) の最小値が正である」
1
のときに
[x≧0 におけるf(x) の最小値] > 0
となる条件を求める。
導関数を求め,f'(x)=0 とすると
x=0, 2a
02a の大小関係によって, f(x) の増減は異なる
から 場合分けをして考える。
コールのとき
[1] 2a<0 すなわち α<0のとき
x≧0 におけるf(x) の増減表は右のよう
になる。
f'(x)=3x2-6ax=3x(x-2a)
270 FT F
72470
Fi
①を満たすための条件は
したがって
a>0
4a>0
これはα<0に適さない。
[2] 2a=0 すなわち a=0のとき
f'(x)=3x2≧0で, f(x)は常に単調に増加する。
を満たすための条件は
f(0)=4a>0
これは α = 0 に適さない。
よって
a>0
[3] 20 すなわち a>0のとき
におけるf(x) の増減
表は右のようになる。
①を満たすための条件は
-4a²+4a>0
0
f' (x)
f(x) 4a
-4a(a+1)(a-1)>0
a(a+1)(a-1)<0
a<-1,0<a<1
0<a< 1
ゆえに
よって
これを解くと
a> 0 を満たすものは
[1]~[3] から 求めるαの値の範囲は
0
2a<0
x
f'(x)
+
f(x) 4a >
0<a<1
2a0x
2a
0
-4a³+4a/
+
2a=0
x
注意 左の解答では,
[1] 2a<0, [2] 2a=0,
[3] 2a>0 の3つの場合に
分けているが, [1] と[2] を
まとめ, 2a≦0, 2a>0 の場
合に分けてもよい。
なぜなら, 2a≦0のとき,
x≧0ではf'(x)≧0
であるから, x≧0でf(x) は
単調に増加する。
-1
ゆえに, x≧0 での最小値は
f(0) =4a である。 実際に左
の解答 [1] と [2] を見てみ
ると,同じことを考えている
のがわかる。
a (a+1)(a-1)の符号
+
< a>0 のとき
i 0 2a x
0<2a
a(a+1)>0
ゆえに a-1 <0
としてもよい。
1 a
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