654 x≧0,y≧0 のとき,x,yの関数 f(x, y) =x-4xy+5y2+2y+2 の最小値
を求めよ。 また,このときの x, yの値を求めよ。
[ 北星学園大 ]
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解答
f(x,y)=x2-4xy+5y2+2y+2
={(x-2y)2-(2y)2}+5y2+2y+2
=(x-2y)2+y^2+2y+2
=(x-2y)2+{(y+1)²-12}+2
=(x-2y)2+(y+1)2 +1
x≧0, y≧0 のとき y+1≧1, x-2y はすべての実数
よって
ゆえに
(y+1)2≧1, (x-2y)2≧0
f(x,y)≧2
したがって,y+1=1, x-2y= 0, すなわち
x = 0, y = 0 で最小値2をとる。
