✨ ベストアンサー ✨
垂直条件から座標系で計算すると楽そうです. 図も原点Oを中心に書き直すと分かりやすかったはずです.
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条件からxyz-直交座標系でO(0, 0, 0), A(4, 0, 0), B(0, 4√3, 0)[AB=8と三平方の定理を利用], C(0, 0, 4)と置くことができる.
このときM(0, 2√3, 0), N(0, 0, 3)と表すことができる. したがってAM=√{4^2+(-2√3)^2+0^2}=2√7, AN=√{4^2+0^2+(-3)^2}=5,
MN=√{0^2+(2√3)^2+(-3)^2}=√21と求まる.
△AMNに関して余弦定理を適用すると, cosθ=(AM^2+AN^2-MN^2)/(2*AM*AN)=(28+25-21)/(2*2√7*5)=8√7/35,θは鋭角なので
sinθ=√{1^2-(8/5√7)^2}=√111/5√7で, △AMNの面積は(1/2)AM*AN*sinθ=√111である.
[△OMNは∠MONが直角の直角三角形で面積は(1/2)*(2√3)*3=3√3です. これだと脈絡もないですし, おそらくtypoでしょう.]
Nから直線AMへ下した垂線の足をHとすると, NH=ANsinθ=√111/√7である. 得られた回転体は底面がNHの円で高さをAHとMHとする
円錐を張り合わせたもので, その体積は(π/3)*(NH)^2*AM=74√7π/3と求まった[これは図を自分で描いてみましょう].
[訂正と補足]
最後の体積は(π/3)*(NH)^2*AM=74√7π/7が正しいです.
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ベクトルを既に学んでいるなら, ベクトルAN=(-4, 0, 3), AM=(-4, 0, 2√3)なので
cosθ=AN・AM[これは内積]/|AN||AM|=16/(5*2√7)=8/5√7=8√7/35と求めることもできます.
こちらの方が計算ミスはしにくいでしょう[試験ではそういうやり方を選ぶのも大事なことです].
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こちらも参考にして考えてみてください.
分かりました
丁寧にありがとうございます！
参考にして、考えます。