解説お願いします🙇🏻‍♀️

演習2 関数f(x)=(z2-4z)2+6(2-4)+5の最小値とそのときのェの値を求めなさい。 演習3,yを実数とするとき, P = x2-4cy +7y2-6 +6y +7 の最小値とそのときの x, yの値を求めなさい。 演習 4 x+2y=10,x≧2, y≧1のとき, x2 + 2 の最大値と最小値を求めなさい。

黄色のマーカーがついた操作は何が行けないのでしょうか？ 　不等式と、方程式を立てて逆像の存在条件を探すときの違いがわかりません。回答よろしくお願いします🙇‍♀️

21:22 23 演習41 2x+2-x=tとおく。 2x>0,2-x>0から、相加平均と相乗平均の 大小関係より ≧22x.2-x (等号成立は2x=2-xすなわちx=0のとき) - すなわち≧2 ① ここで4x+4-x=(2x+2-x)-2=t-2 -23+x_23-x=-8(2*+2-x)=-8t であるからy=(t-2)-8t+16iy =ピー8t+14 =(t-4)2-2 ①から、yはt=4で最小値 -2 をとる。 t=4のとき 2+2x=4から (2x)2+1=4.2x 2 0 2 4 (2x)2-4・2x+1=0 2x=Xとおくとx>0で x²-4x+1=0 すなわち x=2±√(これはX>0を満たす 2x=2±√3 x = log2 (2±√) 以上から、yはx=log2(2±√)で最小値-2を この画面を検索 t

黄色のマーカーで囲まれた操作をしてはいけない理由はなんですか？ 　なんで相加相乗平均と方程式を立てて、逆像の存在条件を考える操作の違いがわかりません。教えてください🙇

21:22 23 演習41 2x+2-x=tとおく。 2x>0,2-x>0から、相加平均と相乗平均の 大小関係より ≧22x.2-x (等号成立は2x=2-xすなわちx=0のとき) - すなわち≧2 ① ここで4x+4-x=(2x+2-x)-2=t-2 -23+x_23-x=-8(2*+2-x)=-8t であるからy=(t-2)-8t+16iy =ピー8t+14 =(t-4)2-2 ①から、yはt=4で最小値 -2 をとる。 t=4のとき 2+2x=4から (2x)2+1=4.2x 2 0 2 4 (2x)2-4・2x+1=0 2x=Xとおくとx>0で x²-4x+1=0 すなわち x=2±√(これはX>0を満たす 2x=2±√3 x = log2 (2±√) 以上から、yはx=log2(2±√)で最小値-2を この画面を検索 t

写像の証明を教えていただきたいです🥺 上式であれば、fのA'の像をとり逆像するとA'が含まれる、などの意味合いはわかるのですが、答案としてどう書いたらいいかわからないです。

A'CA,B'CB, f:A→B:写像とするとき. f" (f(A)) > A' : ftas filF(A)) = A' f(f' (B)) CB' : fAs f(f'(B')) = B' をそれぞれ示

逆像法を理解しようとしていました。 この問題から、tの二次方程式が作れるのはわかります。 そのあとに、x>0,y<1の範囲に解を持てばいいのはわかるのですがなぜ二つの解を共に持つのですか？少なくとも一つの解を持てば良いのでは？ 何か勘違いしてるところあるかもしれません、詳し... 続きを読む

x,y がそれぞれx > 0,y < 1 の範囲で動くと き, 点 (X, Y) = (x+y,xy) の動く範囲を求 めよ。 これは逆手法で解きましょう。 本間のように変数が 複数ある場合は, 順手法は難しいです。 解答 求める領域を C とおく。 t2 - Xt + Y = 0 は x,yを解に持つ二次方程 - 式である。 この方程式が1より小さい解と 0 より大きい 解の2解を持つ条件を調べる。 特に2解が共に1以上のときと, 2解が共に 0以下の場合を求めれば、その補集合がC で ある。 方程式の判別式をD とおくと, D = X2 - 4Y である。よって,実数解を持つためには Y≤ - X2 が必要となる。 4

線形計画法と逆像法の違いはなんですか？ 線形計画法を使うと良いときはどんな時ですか？

(イ)は(ア)とは違い逆像法で解いています。 結局どちらの問題もxとyの関係式を代入して文字を減らしています。 違いはなんでしょうか。 二次関数の問題において、(他の問題でも同じことが言えるのかもしれませんが…)逆像法じゃなきゃ解けない問題ってどう判断するんでしょうか。

t 122変数関数 / 等式の条件が2次式の場合 実数エリが+=1をみたすとき,'+4yは(x,y)= とり(x,y)=(,)のとき最小値 )のとき最大値 実数エリがェー2zy+2g2=8 を満たすとき,x+yの最大値と最小値を求めよ. をとる. (東海大・理, エ ( 名古屋学院大 (7719123 角入し 7 この先回ら #4 等式の条件が2次の場合 (ア)の場合,1-y2としてェを消去すれば前間と同様に解ける。こ こで,xの範囲に制限がないから,yに反映させる条件はない。とすると大間違いである。 例えばy=2 とすると, r2=-3となるがこれを満たす実数ェは存在しない! つまり、エが実数であるための条件≧0をリに反映させる必要がある。 (zが実数で存在する条件) 一方、(イ)の場合、無理に1文字を消去してェをリで表せば,r=y±√8-y2というやっかいなもの が登場してしまう.こんなときは、次の手法が威力を発揮する。 (「大学への数学」 では “逆手流” と呼 んでいる) かて f(x,y)=0のとき,g(x, y) の取り得る値の範囲 I を求めるとする. ある値kについて, kがIの範囲に入る 「f(x,y)=0かつg(x,y)=kを満たす実数x, y が存在する」 本間の場合、f(x,y)=x²-2xy+2y2-8, g(x,y)=x+yであり,「 」 から得られるkの条件 (範囲)がIになるわけである.なお,逆手流については、詳しくは 66. 解答量 (ア)+y2=1により, r2=1-y2 存在条件に →Dしかない (ア)有在条件(イ)有不 1次へ xxの ェの実数条件. な お,r'+y2=1 は 右図の単位円を 表すことからも 34 2-7 1 20 であるから, 1-y2≧0 ..-1≤y≤1 このとき,'+4y=(1-y2)+4y=-(y-2)2+5 よって, y=1 (このときx=0) のとき最大値 4 y=-1 (このときx=0)のとき最小値 4 (xtyがんという実数値を取り得る. ←xty=kかつェー2xy+2y2=8 を満たす実数工y が存在する。 -1≦y≦1が分かる. ①る+300-8- ② 2ェ(k-1)+2(k-1) 2=8 ① (y=k-ェ･･････②) を満たす実数が存在する。 ここで, ①を整理すると, 52-6kr+2k2-8=0 ②を使って”を消去.なお, ェが 実数なら②から」が実数である から が言える. これを満たす実数ェが存在するための条件は,上式をェの2次方程式と見たと 少なくとも1つ実数解を持たな きの判別式をDとすると, D≧0であるから, ければならない。 その条件は DZO. D/4-(3k)2-5(2k2-8)≥0 .. k²≤40 .. -2√10 ≤ k ≤2√/10 よって,xtyの最大値は2/10 最小値は2/10 である. 12 演習題(解答は p.59) (ア) エリが+2y2=1 をみたすとき2x+3y2の最大値は [ である. で,最小値は [ ( 明海大歯) (イ) (1) 実数エリがry+y-y-1=0をみたすとき, yの最大値は[ 最小値は □である。 ]で, (愛知工大) (ア) 実数条件を忘れな (2) 実数x、yがェー2x+y=1を満たすとき,x+yの最大値は [ である. 最小値は いように、 ( 広島工大) (イ) 逆手流を使う. 解答のか 45 ¥4

逆像法と順像法について。もし例題(ア)でx^2+4yではなく、x+4yという問題だったら、 (イ)と同じように xの値に±付きのルートが出てきて面倒なので、逆像法で解くということですか？

12 2変数関数/等式の条件が2次式の場合 (ア) 実数x,yがx'+y2 =1をみたすとき,r'+4yは(x,y)=(, をとり、(x,y)=(¯□¯)のとき最小値 |をとる. ■ のとき最大値 (東海大理工) (イ) 実数x,yがx-2xy+2y2=8を満たすとき, x+yの最大値と最小値を求めよ。 (名古屋学院大, 一部省略) 「等式の条件が2次の場合 (ア)の場合,1-y2としてェを消去すれば前問と同様に解ける.こ 実をもつまらな こでの範囲に制限がないから, yに反映させる条件はない, とすると大間違いである。 例えばy=2 とすると, z=-3となるがこれを満たす実数æは存在しない! つまり,ェが実数であるための条件220 を」に反映させる必要がある. (z が実数で存在する条件) 実数が一方, (イ)の場合、無理に1文字を消去して』をyで表せば,r=y±√8-y2というやっかいなもの が登場してしまう。こんなときは,次の手法が威力を発揮する. (「大学への数学」では“逆手流” と呼 んでいる) すま の地で さかて f(x, y) =0のとき,g(x,y)の取り得る値の範囲 I を求めるとする. ある値kについて, kがIの範囲に入る⇔ 「f(x, y) =0かつg (x, y) = k を満たす実数x, y が存在する」 本間の場合, f (x,y)=x²-2xy+2y2-8, g(x,y)=x+yであり,「」 から得られる kの条件 (範囲) がIになるわけである.なお, 逆手流については、詳しくは p.66. 解答 存在条件に (ア)存在条件(イ)有 Dしかない 次へ 実 (ア) '+y2=1により, r=1-y2 x 2 0 であるから, 1-y2≧0 .. -1≤y≤1 このとき,'+4y=(1-y2)+4y=-(y-2)2+5 よって, y=1 (このときx=0) のとき最大値 4 y=-1 (このときょ=0) のとき最小値 4 (イ) x+yがんという実数値を取り得る. ⇔rty=kかつ2ry+2y2=8 を満たす実数x, y が存在する。 ⇔-2ェ (k-x)+2(k-x)=8① (y=k-π･････ ②) を満たす実数x が存在する. ここで, ①を整理すると, 52-6kr+2k2-8=0 ェの実数条件. な お,r'+y2=1は 右図の単位円を 表すことからも -1≦y≦1 が分かる. 1 〒1 並ん [② ②を使ってyを消去. なお,エが 実数なら②からが実数である から, が言える. これを満たす実数x が存在するための条件は,上式を2次方程式と見たと 少なくとも1つ実数解を持たな きの判別式をDとすると, D≧0であるから, D/4=(3k)2-5(2k2-80 .. k²≤40 ければならない. その条件は D.20. ..-2/10 ≦k≦2/10 よって、xtyの最大値は2/10 最小値は2/10 である。 D 12 演習題(解答はp.59) (ア),yが2+2y2=1 をみたすとき, 2x+3y2の最大値は [ である. ]で,最小値は (明海大 歯) (イ) (1) 実数x、yがェーry+y"-y-1=0 をみたすとき, yの最大値は 最小値は である. で. (愛知工大) (2) 実数ェリがェー2x+y=1を満たすとき,rtyの最大値は [ 最小値は (ア) 実数条件を忘れな いように. ( 広島工大) (イ) 逆手流を使う. である. 解答のかき方応 45 逆手流の逆像法 みる の 大阪

問題文で言っている逆像法のような考え方はなんとなく理解できたのですが、なぜ調べるのは、すべての解を含む範囲ではなく、満たす解を少なくとも一つ持つ範囲なのでしょうか？ その場合、満たさない解の範囲までも図示しちゃいませんか？

128 図形の通過領域 (2) 重要 例題 直線 y=2tx-f2+1 00000 ...... ①について、が0に≦1の範囲の値をとって変化す 重要 127 るとき, 直線 ①が通過する領域を図示せよ。 指針 重要例題127と同様, 直線の通過領域を求める問題である。 重要例題 127では,直線 処理できたが,本間のtのとりうる値の範囲には制限 (0≦t≦1) があるため, 判別式だ y=2ax+αのα がすべての実数値をとって変化するため, 実数解条件 (D≧0)だけで けで解くことはできない。 しかし、基本的な考え方は同じで 見方を変えて考えればよい。 つまり、 逆像法で 直線 ①が点(x, y) を通る ① を満たす実数t (0≦≦1) が存在する と考える。 ①をtについて整理すると P2-2x+y-1=0 ...... ② よって, tの2次方程式 ② が0≦t≦1 を満たす解を (少なくとも1つ) もつような x, の条件を求める。 →f(t)=ピ-2xt+y-1とし、放物線 z=f(t) が0≦t≦1の範囲で軸と共有点をも つような条件を調べる(「チャート式基礎からの数学Ⅰ」のか.214重要例題130 参 照)。 なお,正像法による解答は,次ページの別解のようになる。別解の方法では, 2次関 数の最大・最小の問題として進められる分, 考えやすいかもしれない。 ① を tについて整理すると t2-2x+y-1=0 ...... 直線 ①が点 (x, y) を通るための条件は, tの2次方程 式② 0≦ts1の範囲に少なくとも1つの実数解をも つことである。 すなわち、次の [1]~[3] のいずれかの場合である。 ②の判別式をDとし, f(t) =t2-2x+y-1とする。 [1] 0<t<1の範囲にすべての解(*)をもつ場合 条件は D≧0 から よって f(0) > 0から D≥0, f(0)>0, f(1)>0, 軸が0<t<1の範囲にある (-x)^-1(y-1) ≧ 0 y≦x2+1 y-1>0 tの2次方程式と考える。 ■下に凸の放物線。 軸は直線t=x (*) 異なる2つの解または 重解。 [1] 解答 ゆえにy>1 [D=0/ f(1)>0 から 1-2x+y-1>0 よってy>2x D>O 軸は直線t=x であるから 0<x<1 + + 0 まとめると y≦x2+1, y> 1, y>2x, 0<x<1 [2] 10 [2] 0<t<1の範囲に解を1つ, t<0または1<tの範 囲にもう1つの解をもつ場合 f(0)f(1) <0から (y-1)(y-2x)<0 [y>1 ゆえに Jy<1 または Ly< ly>2x 1t または

なぜこの解き方で求めるのかが分かりません。 かと言って他の解き方が思い浮かぶ訳ではないんですが、この解法で答えに辿り着ける理由が分かりません。どなたか教えてください🙇‍♀️

る. Think 例題 119 条件を満たす点の存在範囲 3 軌跡と領域 223 **** 座標平面上で,点P(x, y) x'+y'≦2 を満たしながら動くとき,次 の点が動く領域を図示せよ. (1) Q(x+y,x-y) (2) R(x+y, xy) 考え方 (1) x+y=X, x-y=Y とおき, x, y を X, Yで表すことを考える. 解答 (2)x+y=X,xy=Yとおき,(1)と同様に考えればよいが、そのとき,(1)と異なり, X. Yが実数であってもx,yは実数とは限らないので,x, y が実数として存在 するための条件が必要になる. (1)x+y=X,x-y=Y とおくと, x=- X+Y X-Y 2y=" 2 x2+y'≦2 より (x+1)+(x_x)=2 x,y を X,Yで表す. X,Yが実数のとき,x, yも実数になる. 第3章 x2+y2=4 x,yを代入する. したがって, X2+ Y°≦4 変数を x, y におき換えて, x+y2≤4 -2 Q(X, Y) が動く領域 O 2x よって, 点Qが動く領域は右 図は xy 平面上にかく. の図の斜線部分で、境界線を含む. (2)x+y=X, xy=Y とおくと, x, yは2次方程式 t2-Xt+Y=0 …………① の2つの解である. したがって, ①の判別式をDとすると, x, y は 実数であるから, D≧0 である. つまりD=XYよりX2 変数を x, y におき換えて, y≤- (2) また、与えられた条件より, (x + y)²-2xy≤2 したがって, X2-2Y≤2 α,βを解とする2次方 程式の1つは、 x2-(a+β)x+αβ = 0 X. Yが実数でも, x, yは①の解なので実数 とは限らない. X = 0, Y=1 は下の③を満たす が,①より,t=±i と なり、点Pは存在しない. XYの式で表す. つまり, YZX-1 変数を x, y におき換えて, 3x²-1...... ...... ③ よって、②③より点Rが y=1/2x1 O 2 動く領域は右の図の斜線部分で、 境界線を含む. 練習 119点が動く領域を図示せよ. 座標平面上で,点P (x,y) が|x|≦1,y|≦1 を満たしながら動くとき,次の (2) R(x+y,xy) •p.230 37 38 **** (1)Q(x+y.x-y)