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11 比例式, サイクリックな式
xy+yz+zx
(ア)
x+4y
y+4z
z+8エ
3
をみたす正の実数x, y, z について,
2+12+22
6
4
(椙山女学園大)
である.
I
(イ)
y
Z
y+z
2+1
このとき,この式の値は,x+y+z=0のとき
x+y
x+y+z=0 の
(麻布大獣医)
とき
である.
比例式はとおく 条件式が ==形(ry:z=a:b:cを意味する比例式)で与えら
abc
れたときには、この分数式の値をkとおくのが定石で、こうすると計算にのせやすい。
サイクリックな式 (イ)の式の値をとおくと,r=k(y+z) などとなる.ここで,
x,y,zをそれぞれy,z, xに入れ替えていくと,
x=k(y+z)
⑦
y=k(z+x) ⇒ z=k(rty)..・・・・ウ
となり,もう1回やると⑦⑦になる. このように,文字がグルグル回る, ア~⑦を
サイクリックな式を言うが、この3式を辺ごとに加えると対称式になり,扱い易くなる.
解答
(ア)
x+4y y+4z
2+8x
3
=k (k>0) とおくと,
x, y, zが正により, k>0
6
4
x+4y=3k ①y+4z=6k... ②, z+8x=4k...... ③
①によりェ=3k-4y で, これと③から z = 4k-8=32y-20k
これを②に代入して, y+4(32y-20k)=6k
等式の条件は,文字を消去するの
が原則
86
2
129
3
y= -k= ==k, I=3k--
4
-k, z=4k- -k=
-k
3
3
E
そのままk=31 (1>0) とおいて,r=l, y=21,z=4l
大変
1-21+21-41+41.1 _2+8+4 14 2
よって, 求値式=
=
2+(21)+(41) 2 1+4+16 21
23
I
(イ)
y
2
=k...... ① とおくと,
y+z z+x
x+y
x=k(y+z)
+42-6
2+8x-4f
1 k>o
②,y=k (z+x)...... ③, z=k(x+y)......④
②+③ + ④により,x+y+z=2k(x+y+z)
1°x+y+z≠0のときは, これで割って,k=
1
2
2° x+y+z=0 のとき, y+z=-xとなり,①によりk=-1
注1°のとき,②③によりx-y=1/2 (y-x)となるから,r=y
よって①とから,r=y=z となる.
←前文参照.
11 演習題 (解答は p.28)
y+4(223-200
36
b+c
c+a
a+b
b+c
とする.このとき、
の値は (1) であり,a+b+c=0
a
b
C
a
a+b+c+6abc
のときの
の値を求めると (2) である.
(福岡大)
(b+c)a
後半は1文字消去すれば
解決する。
